وظيفة الحقن: ما الذي تتكون منه ، وما هي من أجله وأمثلة مع التمارين التي تم حلها

دالة الحقن هي كل علاقة عناصر المجال بعنصر واحد من الكودومين. تُعرف أيضًا باسم الوظيفة الفردية ( 1 - 1 ) ، وهي جزء من تصنيف الوظائف فيما يتعلق بالطريقة التي ترتبط بها عناصرها.

لا يمكن أن يكون عنصر codomain سوى صورة لعنصر واحد من المجال ، وبهذه الطريقة لا يمكن تكرار قيم المتغير التابع.

مثال واضح هو تجميع الرجال الذين يعملون في المجموعة "أ" ، وفي المجموعة "ب" مع جميع القادة. ستكون الوظيفة F هي التي تربط كل عامل برئيسه. إذا ارتبط كل عامل برئيس مختلف من خلال F ، فسيكون F وظيفة عن طريق الحقن .

للنظر في وظيفة وحقن ، يجب تحقيق ما يلي:

1 x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )

هذه هي الطريقة الجبرية للقول للجميع x 1 مختلفة عن x 2 لدينا F (x 1 ) مختلفة عن F (x 2 ).

ما هي وظائف عن طريق الحقن؟

تعد الحقن خاصية للوظائف المستمرة ، حيث إنها تضمن تخصيص الصور لكل عنصر من عناصر المجال ، وهو جانب أساسي في استمرارية الوظيفة.

عند رسم خط موازٍ لمحور X على الرسم البياني لوظيفة الحقن ، يجب فقط لمس الرسم البياني في نقطة واحدة ، بغض النظر عن ارتفاع أو حجم Y المرسوم. هذه هي الطريقة الرسومية لاختبار حقن وظيفة.

هناك طريقة أخرى لاختبار ما إذا كانت إحدى الوظائف عن طريق الحقن ، هي مسح المتغير X المستقل من حيث المتغير التابع Y. ثم يجب عليك التحقق مما إذا كان مجال هذا التعبير الجديد يحتوي على أرقام حقيقية ، في نفس الوقت لكل قيمة Y لا يوجد سوى قيمة واحدة لـ X.

وظائف أو علاقات النظام تطيع ، من بين أشكال أخرى ، الترميز F: D fC f

هذا هو قراءة F الذي ينتقل من D f إلى C f

حيث ترتبط الدالة F بمجموعات المجال و Codomain. المعروف أيضًا باسم مجموعة البدء ومجموعة الوصول.

يحتوي المجال D f على القيم المسموح بها للمتغير المستقل. يتكون الكودومين C f من جميع القيم المتاحة للمتغير التابع. تُعرف عناصر C f المرتبطة بـ D f باسم نطاق الوظيفة (R f ).

تكييف وظائف

في بعض الأحيان وظيفة غير حاقن ، يمكن أن تخضع لشروط معينة. هذه الظروف الجديدة يمكن أن تتحول إلى وظيفة عن طريق الحقن. جميع أنواع التعديلات على المجال ورمز الوظيفة صحيحان ، حيث يكون الهدف هو الامتثال لخصائص الحقن في العلاقة المقابلة.

أمثلة على وظائف الحقن مع التمارين التي تم حلها

مثال 1

دع الوظيفة F: RR محددة بواسطة السطر F (x) = 2x - 3

ج: [كل الأرقام الحقيقية]

يلاحظ أنه لكل قيمة للمجال توجد صورة في الكودومين. هذه الصورة فريدة من نوعها مما يجعل F وظيفة عن طريق الحقن. ينطبق هذا على جميع الوظائف الخطية (الوظائف التي تكون فيها درجة المتغير الأعلى واحدة).

مثال 2

دع الوظيفة F: RR محددة بواسطة F (x) = x2 +1

عند رسم خط أفقي ، يلاحظ أن الرسم البياني موجود في أكثر من مناسبة. لهذا السبب ، فإن الوظيفة F ليست عن طريق الحقن طالما يتم تعريف RR

ننتقل إلى شرط مجال الوظيفة:

F: R + U {0}R

الآن لا يأخذ المتغير المستقل قيمًا سلبية ، وبالتالي تجنب تكرار النتائج ، والدالة F: R + U {0}R المعرّفة من قِبل F (x) = x2 + 1 يتم حقنها .

سيكون الحل الآخر هو تحديد المجال من اليسار ، أي تقييد الوظيفة بحيث تأخذ فقط القيم السالبة والصفر.

ننتقل إلى شرط مجال الوظيفة

F: R- U {0}R

الآن لا يأخذ المتغير المستقل قيمًا سلبية ، وهذا يتجنب تكرار النتائج وتكون الدالة F: R- U {0}R المعرّفة من قِبل F (x) = x2 + 1 عن طريق الحقن .

تشتمل الدوال المثلثية على سلوكيات مشابهة للموجات ، حيث من الشائع جدًا العثور على تكرار القيم في المتغير التابع. من خلال التكييف المحدد ، استنادًا إلى المعرفة المسبقة بهذه الوظائف ، يمكننا تقييد المجال لاستيفاء شروط الحقن.

مثال 3

دع الدالة F تكون: [- π / 2، π / 2 ] → R المعرّفة من قِبل F (x) = Cos (x)

في الفاصل الزمني [- π / 2 → π / 2 ] تختلف دالة جيب التمام نتائجها بين صفر وواحد.

كما هو مبين في الرسم البياني. ابدأ من الصفر عند x = - π / 2 ثم تصل إلى الحد الأقصى عند الصفر. بعد x = 0 تبدأ القيم في التكرار ، حتى تعود إلى الصفر عند x = π / 2. بهذه الطريقة ، من المعروف أن F (x) = Cos (x) ليس عن طريق الحقن للفاصل الزمني [- π / 2، π / 2 ] .

عند دراسة الرسم البياني للدالة F (x) = Cos (x) ، نلاحظ فترات حيث يتكيف سلوك المنحنى مع معايير الحقن. كما على سبيل المثال الفاصل الزمني

[0 ، π ]

حيث تتباين الوظيفة النتائج من 1 إلى -1 ، دون تكرار أي قيمة في المتغير التابع.

بهذه الطريقة وظيفة الدالة F: [0 ، π ] → R يحددها F (x) = Cos (x). إنه عن طريق الحقن

هناك وظائف غير خطية حيث يتم عرض حالات مماثلة. بالنسبة إلى التعبيرات من النوع الرشيد ، حيث يستضيف المقام متغيرًا واحدًا على الأقل ، هناك قيود تمنع حقن العلاقة.

مثال 4

دع الوظيفة F: RR محددة بواسطة F (x) = 10 / x

يتم تعريف الوظيفة لجميع الأرقام الحقيقية باستثناء {0} الذي لديه عدم تحديد (لا يمكن تقسيمها على صفر) .

عند الاقتراب من الصفر على اليسار ، يأخذ المتغير التابع قيمًا سلبية كبيرة جدًا ، وبعد الصفر مباشرةً ، تأخذ قيم المتغير التابع أرقامًا إيجابية كبيرة.

يؤدي هذا التعطيل إلى التعبير F: RR المعرّف بواسطة F (x) = 10 / x

لا تكون عن طريق الحقن.

كما شوهد في الأمثلة السابقة ، فإن استبعاد القيم في المجال يعمل على "إصلاح" هذه التعاريف. ننتقل إلى استبعاد الصفر للمجال ، مع ترك مجموعات المغادرة والوصول المحددة على النحو التالي:

R - {0}R

حيث R - {0} يرمز إلى reals باستثناء مجموعة يكون العنصر الوحيد فيها هو صفر.

بهذه الطريقة ، يكون التعبير F: R - {0}R المعرّف بواسطة F (x) = 10 / x عن طريق الحقن.

مثال 5

اجعل الدالة F هي: [0 ، π ] → R محددة بواسطة F (x) = Sen (x)

في الفاصل الزمني [0 ، π ] تغير دالة الجيب نتائجها بين صفر وواحد.

كما هو مبين في الرسم البياني. ابدأ من الصفر عند x = 0 ، ثم تصل إلى الحد الأقصى عند x = π / 2. بعد x = π / 2 تبدأ القيم في التكرار ، حتى تعود إلى الصفر عند x = π. بهذه الطريقة ، من المعروف أن F (x) = Sen (x) ليس عن طريق الحقن للفاصل الزمني [0 ، π ] .

عند دراسة الرسم البياني للدالة F (x) = Sen (x) ، نلاحظ فترات حيث يتكيف سلوك المنحنى مع معايير الحقن. على سبيل المثال الفاصل الزمني [ π / 2 ، 3π / 2 ]

حيث تتباين الوظيفة النتائج من 1 إلى -1 ، دون تكرار أي قيمة في المتغير التابع.

بهذه الطريقة تكون الوظيفة F: [ π / 2 ، 3π / 2 ] → R محددة بواسطة F (x) = Sen (x). إنه عن طريق الحقن

مثال 6

تحقق مما إذا كانت الدالة F: [0، ∞)R المعرّفة من قِبل F (x) = 3x2 عن طريق الحقن.

في هذه المناسبة ، مجال التعبير محدود بالفعل. ويلاحظ أيضًا أن قيم المتغير التابع لا تتكرر في هذا الفاصل الزمني.

لذلك ، يمكن أن نستنتج أن F: [0 ، ∞)R المعرّفة من قِبل F (x) = 3x2 هي عن طريق الحقن

مثال 7

تحديد أي من الوظائف التالية هي

  1. إنه عن طريق الحقن. تعتبر العناصر المرتبطة في codomain فريدة لكل قيمة للمتغير المستقل.
  2. انها ليست عن طريق الحقن. هناك عناصر في codomain مرتبطة بأكثر من عنصر من مجموعة البداية.
  3. إنه عن طريق الحقن
  4. انها ليست عن طريق الحقن

تمارين مقترحة للصف / المنزل

تحقق مما إذا كانت الوظائف التالية عن طريق الحقن:

F: [0، ∞) → R المعرّفة من قِبل F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 ، 3π / 2 ] → R المعرّفة من قِبل F (x) = Tan (x)

F: [- π ، π ] → R محددة بواسطة F (x) = Cos (x + 1)

F: R R المعرفة بالسطر F (x) = 7x + 2