تكامل ثابت: معنى ، كيف يتم حسابه وأمثلة

ثابت التكامل هو قيمة مضافة لحساب المضادات أو التكاملات ، إنه يعمل على تمثيل الحلول التي تشكل بدائية للدالة. يعبر عن غموض متأصل حيث يكون لأي وظيفة عدد لا حصر له من العناصر البدائية.

على سبيل المثال ، إذا تم أخذ الوظيفة: f (x) = 2x + 1 وحصلنا على المضاد:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ؛ حيث C هو ثابت التكامل ويمثل بيانياً الترجمة الرأسية بين الاحتمالات اللانهائية للبدائية. من الصحيح أن نقول أن (x2 + x) هي واحدة من بدائل f (x).

بنفس الطريقة يمكننا تعريف (x2 + x + C ) بأنها بدائية لـ f (x).

عكس الممتلكات

تجدر الإشارة إلى أنه عند اشتقاق التعبير (x2 + x) ، يتم الحصول على الدالة f (x) = 2x + 1. ويعود ذلك إلى الخاصية العكسية الموجودة بين الاشتقاق وتكامل الوظائف. تسمح هذه الخاصية بالحصول على صيغ التكامل بدءًا من التمييز. مما يسمح بالتحقق من التكاملات من خلال نفس المشتقات.

ومع ذلك (x2 + x) ليست الوظيفة الوحيدة التي يكون مشتقها مساويًا (2x + 1).

  1. d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
  2. d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
  3. d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
  4. d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
  5. d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

حيث تمثل 1 و 2 و 3 و 4 بدايات معينة لـ f (x) = 2x + 1. بينما يمثل 5 التكامل غير المحدد أو البدائي لـ f (x) = 2x + 1.

يتم تحقيق بدايات الوظيفة من خلال عملية التناقض أو التكامل. حيث F ستكون بدائية لـ f إذا كان التالي صحيحاً

  • y = ∫ f (x) dx = F (x) + C؛ ج = تكامل ثابت
  • F '(x) = f (x)

من المقدر أن دالة لها مشتق واحد ، على عكس بدائلها اللانهائية الناتجة عن التكامل.

جزءا لا يتجزأ من أجل غير مسمى

∫ f (x) dx = F (x) + C

يتوافق مع عائلة من المنحنيات مع نفس النمط ، والتي تواجه عدم تناسق في قيمة الصور لكل نقطة (س ، ص). ستكون كل وظيفة تتوافق مع هذا النمط بدائية فردية وتعرف مجموعة جميع الوظائف بأنها تكامل غير مسمى.

ستكون قيمة ثابت التكامل هي التي تميز كل وظيفة في الممارسة.

يقترح ثابت التكامل نقلة رأسية في جميع الرسوم البيانية التي تمثل البدائل للدالة. حيث لوحظ التوازي بينهما ، وحقيقة أن C هي قيمة النزوح.

وفقًا للممارسات الشائعة ، يُشار إلى ثابت التكامل بالحرف "C" بعد الإضافة ، على الرغم من أنه في الممارسة العملية يكون غير مبال إذا تمت إضافة الثابت أو طرحه. يمكن العثور على قيمتها الحقيقية بطرق مختلفة وفقًا للظروف الأولية المختلفة.

معاني أخرى للتكامل الثابت

تحدثنا بالفعل عن كيفية تطبيق ثابت التكامل في فرع حساب التفاضل والتكامل المتكامل ؛ تمثل عائلة من المنحنيات التي تحدد جزءا لا يتجزأ من أجل غير مسمى. لكن العديد من العلوم والفروع الأخرى حددت قيمًا مهمة وعملية جدًا لثبات التكامل ، مما سهل تطوير دراسات متعددة.

في الفيزياء ، يمكن أن يأخذ ثابت التكامل قيمًا متعددة وفقًا لطبيعة البيانات. مثال شائع جدًا هو معرفة الوظيفة V (t) التي تمثل سرعة الجسيم مقابل الوقت t. من المعروف أن حساب بدائي لـ V (t) يعطي الوظيفة R (t) التي تمثل موضع الجسيم مقابل الوقت.

سيمثل ثابت التكامل قيمة الموضع الأولي ، أي في اللحظة t = 0.

وبالمثل ، إذا كنا نعرف الوظيفة A (t) التي تمثل تسارع الجسيم مقابل الوقت. سوف تؤدي البدائية لـ A (t) إلى الوظيفة V (t) ، حيث يكون ثابت التكامل هو قيمة السرعة الأولية V 0 .

في الاقتصاد ، عن طريق الحصول على بدائية لوظيفة التكلفة عن طريق التكامل. ثابت التكامل سيمثل التكاليف الثابتة. والكثير من التطبيقات الأخرى التي تتطلب التفاضل والتكامل حساب التفاضل والتكامل.

كيف يتم احتساب ثابت التكامل؟

من أجل حساب ثابت التكامل ، سيكون من الضروري دائمًا معرفة الشروط الأولية . والتي هي المسؤولة عن تحديد أي من البدائل المحتملة هو المقابل.

في العديد من التطبيقات ، يتم التعامل معها كمتغير مستقل في الوقت (t) ، حيث يأخذ الثابت C القيم التي تحدد الشروط الأولية لحالة معينة.

إذا تم أخذ المثال الأولي: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

يمكن أن يكون الشرط المبدئي الصحيح هو شرط أن يمر الرسم البياني من خلال إحداثيات محددة. على سبيل المثال ، من المعروف أن البدائي (x2 + x + C) يمر عبر النقطة (1 ، 2)

F (x) = x2 + x + C ؛ هذا هو الحل العام

F (1) = 2

نحن نستبدل الحل العام في هذه المساواة

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

من حيث يستنتج بسهولة أن C = 0

وبهذه الطريقة تكون البدائية المقابلة لهذه الحالة هي F (x) = x2 + x

هناك عدة أنواع من التمارين العددية التي تعمل مع ثوابت التكامل . في الواقع ، لا يتوقف الحساب التفاضلي والمتكامل عن التطبيق في التحقيقات الحالية. في المستويات الأكاديمية المختلفة يمكن العثور عليها ؛ من الحساب الأولي ، يمر الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد ، من بين أمور أخرى.

يظهر أيضًا في دراسة المعادلات التفاضلية ، حيث يمكن لثبات التكامل أن يأخذ قيمًا وحلولًا مختلفة ، وهذا يرجع إلى الاشتقاقات والتكاملات المتعددة التي تمت في هذا الشأن.

أمثلة

مثال 1

  1. مدفع يقع على ارتفاع 30 مترا يطلق النار على قذيفة عموديا صعودا. من المعروف أن السرعة الأولية للقذيفة هي 25 م / ث. تحديد ما يلي:
  • الوظيفة التي تحدد موقف القذيفة بالنسبة للوقت.
  • وقت الرحلة أو لحظة الوقت التي يلمس فيها الجسيم الأرض.

من المعروف أن التسارع هو قيمة ثابتة في حركة مستقيمة متنوعة بشكل موحد. هذا هو حال إطلاق القذيفة ، حيث سيكون التسارع هو الجاذبية

جم = - 10 م / ث 2

ومن المعروف أيضًا أن التسارع هو المشتق الثاني للموضع ، مما يشير إلى تكامل مزدوج في دقة التمرين ، وبالتالي الحصول على ثوابتين للتكامل.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1

تشير الشروط الأولية للتمرين إلى أن السرعة الأولية هي V 0 = 25 م / ث. هذه هي السرعة في الوقت الحالي t = 0. وبالتالي ، يتبع ذلك:

V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 و C 1 = 25

يتم تعريف وظيفة السرعة

V (t) = -10t + 25؛ يمكن ملاحظة التشابه مع صيغة MRUV (V f = V 0 + axt)

بطريقة متجانسة ، يتم دمج وظيفة السرعة للحصول على التعبير الذي يحدد الموضع:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C 2

R (t) = -5t2 + 25t + C 2 (الوضع البدائي)

الموضع الأولي R (0) = 30 متر معروف. ثم يتم حساب البدائية الخاصة للقذيفة.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . حيث C 2 = 30

تم حل القسم الأول منذ R (t) = -5t2 + 25t + 30 ؛ هذا التعبير متماثل لمعادلة الإزاحة في MRUV R (t) = R 0 + V 0 t - gt2 / 2

بالنسبة للقسم الثاني ، يجب حل المعادلة التربيعية: -5t2 + 25t + 30 = 0

بما أن هذه الظروف تصل الجسيم إلى الأرض (الموضع = 0)

في الواقع ، تمنحنا معادلة الصف الثاني حلين T: {6، -1}. يتم تجاهل القيمة t = -1 لأنها وحدات زمنية لا يشتمل مجالها على أرقام سالبة.

وبهذه الطريقة ، يتم حل القسم الثاني ، حيث تساوي مدة الرحلة 6 ثوانٍ.

مثال 2

  1. ابحث عن f (x) البدائية التي تفي بالشروط الأولية:
  • f "(x) = 4 ؛ f '(2) = 2 ؛ f (0) = 7

باستخدام معلومات المشتق الثاني f '' (x) = 4 ، يتم بدء عملية antiderivation

f '(x) = ∫f' '(x) dx

d4 dx = 4x + C 1

ثم ، ومعرفة الشرط f '(2) = 2 ، تابع:

4 (2) + C 1 = 2

C 1 = -6 و f '(x) = 4x - 8

يتم اتباع نفس الإجراء لثبات التكامل الثاني

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C 2

الشرط الأولي f (0) = 7 معروف ونتابع:

2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7

C 2 = 7 و f (x) = 2x2 - 8x + 7

  • f "(x) = x2 ؛ f '(0) = 6 ؛ f (0) = 3

بطريقة مماثلة للمشكلة السابقة ، نقوم بتحديد المشتقات الأولى والوظيفة الأصلية من الشروط الأولية.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C 1

مع الشرط f '(0) = 6 تابع:

(03/3) + C 1 = 6 ؛ حيث C 1 = 6 و f '(x) = (x3 / 3) + 6

ثم الثابت الثاني للتكامل

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C 2

الشرط الأولي f (0) = 3 معروف ومتابع:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C 2 = 3 ؛ حيث C 2 = 3

وبالتالي يتم الحصول على بدائية معينة

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

مثال 3

  1. حدد الوظائف البدائية الممنوحة للمشتقات ونقطة الرسم البياني:
  • dy / dx = 2x - 2 ماذا يحدث من خلال النقطة (3 ، 2)

من المهم أن نتذكر أن المشتقات تشير إلى ميل الخط المماس إلى المنحنى عند نقطة معينة. عندما يكون من غير الصحيح افتراض أن الرسم البياني للمشتق يمس النقطة المشار إليها ، لأن هذا ينتمي إلى الرسم البياني للدالة البدائية.

وبهذه الطريقة نعبر عن المعادلة التفاضلية بالطريقة التالية:

dy = ( 2x - 2) dx ؛ ثم ، عند تطبيق معايير antiderivation ، لدينا:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

تطبيق الشرط الأولي:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

ج = -1

تحصل: f (x) = x2 - 2x - 1

  • dy / dx = 3x2 - 1 ما يحدث من خلال النقطة (0 ، 2)

نعبر عن المعادلة التفاضلية بالطريقة التالية:

dy = ( 3x2 - 1) dx ؛ ثم ، عند تطبيق معايير antiderivation ، لدينا:

∫dy = ∫ (3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

تطبيق الشرط الأولي:

2 = (0) 2 - 2 (0) + C

ج = 2

تحصل: f (x) = x3 - x + 2

التدريبات المقترحة

التمرين 1

  1. ابحث عن f (x) البدائية التي تفي بالشروط الأولية:
  • f "(x) = x ؛ f '(3) = 1 ؛ f (2) = 5
  • f '' (x) = x + 1 ؛ f '(2) = 2 ؛ f (0) = 1
  • f "(x) = 1 ؛ f '(2) = 3 ؛ f (1) = 10
  • f "(x) = -x؛ f '(5) = 1 ؛ f (1) = -8

التمرين 2

  1. يطلق البالون الذي يصعد بسرعة 16 قدمًا / ثانية كيسًا من الرمال من ارتفاع 64 قدمًا فوق مستوى سطح الأرض.
  • تحديد وقت الرحلة
  • ماذا سيكون المتجه V f عندما يمس الأرض؟

التمرين 3

  1. يوضح الشكل الرسم البياني لوقت التسارع لسيارة تتحرك في الاتجاه الإيجابي للمحور س. كانت السيارة تسير بسرعة ثابتة تبلغ 54 كم / ساعة عندما طبق السائق المكابح للتوقف في 10 ثوانٍ. تحديد ما يلي:
  • التسارع الأولي للسيارة
  • سرعة السيارة في ر = 5S
  • حركة السيارة أثناء الكبح

التمرين 4

  1. حدد الوظائف البدائية الممنوحة للمشتقات ونقطة الرسم البياني:
  • dy / dx = x ماذا يحدث من خلال النقطة (-1 ، 4)
  • dy / dx = -x2 + 1 ما يحدث من خلال النقطة (0 ، 0)
  • dy / dx = -x + 1 ماذا يحدث من خلال النقطة (-2 ، 2)