الحد فيرما: ما تتكون منه وتمارين حلها

الحد Fermat هو طريقة عددية تستخدم للحصول على قيمة ميل الخط ، والتي تتشابك مع دالة في نقطة معينة في مجالها. كما أنها تستخدم في الحصول على نقاط مهمة للدالة. يتم تعريف التعبير على النحو التالي:

من الواضح أن فيرمات لم يعرف أساسيات الاشتقاق ، لكن دراساته هي التي دفعت مجموعة من علماء الرياضيات إلى الاستفسار عن خطوط الظل وتطبيقاتها في الحساب.

ما هو الحد فيرما؟

يتكون من مقاربة نقطتين ، والتي تشكل في الظروف السابقة خطًا ثابتًا للدالة مع تقاطع في أزواج من القيم.

عند تقريب المتغير إلى القيمة "a" ، يتم فرض زوج النقاط المراد العثور عليه. وبهذه الطريقة ، يصبح الخط الضمني سابقًا ملموسًا إلى هذه النقطة (أ ؛ و (أ)).

تسفر قيمة الحاصل (x - a) ، عند تقييمها عند النقطة "a" ، عن تحديد حدود النوع K بين صفر (K / 0). حيث ، من خلال تقنيات العوملة المختلفة ، يمكن كسر هذه التحديدات.

تقنيات التشغيل الأكثر استخدامًا هي:

- اختلاف المربعات (a2 - b2) = (a + b) (a - b) ؛ إن وجود العنصر (a-b) يعني في كثير من الحالات العامل الذي يبسط التعبير (x-a) في حاصل حد الحد Fermat.

- إكمال المربعات (ax2 + bx) ؛ بعد الانتهاء من المربعات ، يتم الحصول على ذات الحدين نيوتن ، حيث يتم تبسيط أحد العوامل 2 مع التعبير (س - أ) ، وكسر عدم التحديد.

- الاقتران (أ + ب) / (أ + ب) ؛ ضرب وتقسيم التعبير من خلال اقتران بعض العوامل ، يمكن أن يكون عونا كبيرا لكسر عدم التحديد.

- عامل مشترك. في كثير من الحالات ، يؤدي تشغيل البسط الحد Fermat f (x) - f (a) إلى إخفاء العامل (x - a) اللازم للعامل. لهذا يلاحظ بعناية العناصر التي تتكرر في كل عامل من عناصر التعبير.

تطبيق حد فيرما لأقصى الحدود والحد الأدنى

على الرغم من أن حد Fermat لا يفرق بين الحد الأقصى والحد الأدنى ، لأنه لا يمكن تحديد النقاط الحرجة إلا وفقًا لتعريفه ، فإنه يستخدم عادة في حساب نقاط التوقف أو الطوابق للوظائف في المستوى.

قد تكون المعرفة الأساسية حول نظرية الرسوم البيانية للوظائف بالاقتران مع هذه النظرية كافية لإثبات القيم القصوى والدنيا بين الدوال. في الواقع ، يمكن تعريف نقاط الانعكاس بواسطة نظرية القيمة المتوسطة بالإضافة إلى نظرية فيرما.

المكعب المكعب

المفارقة الأكثر أهمية لفيرمات جاءت من دراسة المكعب المكعب. نظرًا لأنه تم توجيه انتباهه إلى خطوط المماس للدالة لنقطة معينة ، واجه مشكلة تحديد خط المماس المذكور في نقطة انعطاف موجودة في الوظيفة.

بدا من المستحيل تحديد خط الظل إلى حد ما. وهكذا يبدأ التحقيق الذي من شأنه أن يؤدي إلى حساب التفاضل والتكامل التفاضلية. يتم تعريفها لاحقًا بواسطة الأسس المهمة للرياضيات.

الحد الأدنى والحد الأدنى

كانت دراسة الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة تحديًا للرياضيات الكلاسيكية ، حيث كانت هناك حاجة إلى طريقة واضحة وعملية لتعريفها.

أنشأ فيرما طريقة تعتمد على تشغيل القيم التفاضلية الصغيرة ، والتي بعد عمليات التخصيم ، يتم التخلص منها مما يفسح المجال للوصول إلى الحد الأقصى والحد الأدنى للقيمة المطلوبة.

يجب تقييم هذا المتغير بالتعبير الأصلي لتحديد إحداثيات النقطة المذكورة ، والتي سيتم تعريفها مع المعايير التحليلية على أنها الحد الأقصى أو الأدنى للتعبير.

طريقة

في طريقته ، يستخدم Fermat الرمزية الحرفية لـ Vieta ، والتي تتألف من الاستخدام الحصري للأحرف الكبيرة: أحرف العلة ، للمجهول ، والحروف الساكنة للكميات المعروفة.

في حالة القيم الجذرية ، نفذ فيرمات عملية معينة ، والتي سيتم استخدامها لاحقًا في معاملات حدود اللامحدودية اللانهائية بين اللانهاية.

تتكون هذه العملية من تقسيم كل تعبير على قيمة التفاضلية المستخدمة. في حالة Fermat استخدم الحرف E ، حيث بعد القيمة الفاصلة بين القوة العظمى لـ E ، تصبح القيمة المطلوبة للنقطة الحرجة واضحة.

تاريخ

الحد الأقصى للفيرمات هو في الواقع أحد الإسهامات الأقل شعبية في القائمة الطويلة لعالم الرياضيات. تراوحت دراساته من الأعداد الأولية إلى إنشاء أساسيات الحساب بشكل أساسي.

في الوقت نفسه ، كان معروفاً عن فيرمات غريب الأطوار له بشأن فرضياته. كان من الشائع بالنسبة له أن يترك نوعًا من التحدي لعلماء الرياضيات الآخرين في ذلك الوقت ، عندما كان لديه بالفعل الحل أو العرض التوضيحي.

كان لديه مجموعة كبيرة ومتنوعة من النزاعات والتحالفات مع علماء رياضيات مختلفين في ذلك الوقت ، ممن أحبهم أو كرهوا العمل معه.

كانت نظريته الأخيرة مسؤولة أساسًا عن شهرة عالمه ، حيث ادعى أن تعميم نظرية فيثاغورس لأي درجة "n" كان مستحيلًا. قال إن لديه مظاهرة صالحة لها ، لكنه توفي قبل نشرها على الملأ.

كان على هذه المظاهرة الانتظار 350 عامًا تقريبًا. في عام 1995 ، وضع عالم الرياضيات أندرو ويلز وريتشارد تايلور حداً للقلق الذي تركه فيرما ، حيث أظهر أنه كان على صواب من خلال عرض صحيح لنظرياته الأخيرة.

تدريب

التمرين 1

حدد ميل خط الظل إلى المنحنى f (x) = x2 عند النقطة (4 ، 16)

بدلًا من التعبير عن حد فيرما لدينا:

العوامل مبسطة (x - 4)

عند تقييم لديك

م = 4 + 4 = 8

التمرين 2

حدد النقطة الحرجة للتعبير f (x) = x2 + 4x باستخدام الحد Fermat

يتم إجراء تجميع استراتيجي للعناصر ، يتطلع إلى تجميع الأزواج XX 0

يتم تطوير المربعات الصغرى

ويلاحظ العامل المشترك XX 0 واستخراجها

الآن يمكن تبسيط التعبير ويمكن كسر اللامحدودية

عند الحد الأدنى من النقاط ، من المعروف أن ميل خط الظل يساوي الصفر. وبهذه الطريقة يمكننا مساواة التعبير الموجود بالصفر ومسح القيمة X 0

2 × 0 + 4 = 0

X 0 = -4/2 = -2

للحصول على الإحداثيات المفقودة ، تحتاج فقط إلى تقييم النقطة في الوظيفة الأصلية

F (-2) = (-2) 2 + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

النقطة الحرجة هي P (-2 ، -4).