الخلفية التاريخية للهندسة التحليلية
تعود الخلفية التاريخية للهندسة التحليلية إلى القرن السابع عشر ، عندما حدد بيير دي فيرمات ورينه ديكارت فكرتهما الأساسية. يتبع اختراعه تحديث الجبر والتدوين الجبري لفرانسوا فييت.
هذا المجال له قواعده في اليونان القديمة ، وخاصة في أعمال أبولونيوس وإقليدس ، الذي كان له تأثير كبير في هذا المجال من الرياضيات.
الفكرة الأساسية وراء الهندسة التحليلية هي أن العلاقة بين متغيرين ، بحيث يكون أحدهما دالة للآخر ، يحدد المنحنى.
تم تطوير هذه الفكرة لأول مرة من قبل بيير دي فيرمات. بفضل هذا الإطار الأساسي ، تمكن إسحق نيوتن و Gottfried Leibniz من تطوير الحساب.
اكتشف الفيلسوف الفرنسي ديكارت أيضًا مقاربة جبرية للهندسة ، على ما يبدو من تلقاء نفسه. يظهر عمل ديكارت في الهندسة في كتابه الشهير Discourse on Method .
يشار في هذا الكتاب إلى أن الإنشاءات الهندسية والبوصلة ذات الحواف المستقيمة تتضمن الجمع والطرح والضرب والجذور التربيعية.
تمثل الهندسة التحليلية اتحادًا بين تقاليد مهمة في الرياضيات: الهندسة مثل دراسة الشكل ، والحساب والجبر ، والتي ترتبط بكمية أو أرقام. لذلك ، الهندسة التحليلية هي دراسة مجال الهندسة باستخدام أنظمة الإحداثيات.
تاريخ
خلفية الهندسة التحليلية
تطورت العلاقة بين الهندسة والجبر عبر تاريخ الرياضيات ، على الرغم من أن الهندسة وصلت إلى درجة من النضج في وقت سابق.
على سبيل المثال ، تمكن عالم الرياضيات اليوناني إقليدس من تنظيم العديد من النتائج في كتابه الكلاسيكي The Elements .
ولكن كان أبولونيوس اليوناني القديم لبيرغا هو الذي تنبأ بتطوير الهندسة التحليلية في كتابه Conics . عرّف المخروط بأنه التقاطع بين المخروط والطائرة.
باستخدام نتائج Euclid في مثلثات متماثلة وتجفيف الدائرة ، وجد علاقة تعطى بواسطة المسافات من أي نقطة "P" للمخروط إلى خطين عموديين ، المحور الرئيسي للمخروط والظلمة عند نقطة أخيرة من المحور. استخدم Apollonius هذه العلاقة لاستنتاج الخصائص الأساسية للمخروطات.
التطور اللاحق لأنظمة الإحداثيات في الرياضيات لم يظهر إلا بعد نضج الجبر بفضل علماء الرياضيات الإسلاميين والهنود.
حتى تم استخدام هندسة عصر النهضة لتبرير حلول لمشاكل الجبر ، ولكن لم يكن هناك الكثير مما يمكن أن تساهم به الجبر في الهندسة.
هذا الموقف سوف يتغير مع اعتماد تدوين مناسب للعلاقات الجبرية وتطوير مفهوم الوظيفة الرياضية ، وهو ما أصبح ممكنًا الآن.
القرن السادس عشر
في نهاية القرن السادس عشر ، قدم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت أول تدوين جبري منهجي ، مستخدمًا حروفًا لتمثيل الكميات العددية ، المعروفة وغير المعروفة.
كما طور أساليب عامة قوية للعمل التعبيرات الجبرية وحل المعادلات الجبرية.
وبفضل هذا ، لم يكن علماء الرياضيات يعتمدون تمامًا على الأشكال الهندسية والحدس الهندسي لحل المشكلات.
حتى أن بعض علماء الرياضيات بدأوا في التخلي عن طريقة التفكير الهندسية القياسية ، والتي تتوافق مع ذلك المتغيرات الخطية للأطوال والساحات مع المناطق ، في حين أن المكعب يتوافق مع المجلدات.
كان أول من اتخذ هذه الخطوة الفيلسوف والرياضيات رينيه ديكارت والمحامي والعالم الرياضي بيير دي فيرمات.
أساس الهندسة التحليلية
أسس ديكارت وفيرمات الهندسة التحليلية بشكل مستقل خلال ثلاثينيات القرن التاسع عشر ، حيث تبنَّيا جبر فييت لدراسة الموقع.
أدرك هؤلاء علماء الرياضيات أن الجبر كان أداة لقوة عظمى في الهندسة واخترعوا ما يعرف الآن باسم الهندسة التحليلية.
كان التقدم الذي أحرزوه هو التغلب على Viète باستخدام الحروف لتمثيل المسافات المتغيرة بدلاً من الثبات.
استخدم ديكارت المعادلات لدراسة المنحنيات المحددة هندسيًا ، وسلط الضوء على الحاجة إلى النظر في المنحنيات الجبرية العامة للمعادلات متعددة الحدود في الدرجات "x" و "y".
من جانبه ، أكد فيرما أن أي علاقة بين الإحداثيات "x" و "و" تحدد منحنى.
باستخدام هذه الأفكار ، قام بإعادة هيكلة عبارات Apollonius حول المصطلحات الجبرية واستعادة بعض أعماله التي فقدت.
أشار فيرما إلى أنه يمكن وضع أي معادلة تربيعية في "x" و "y" في الشكل القياسي لأحد أقسام المخروط. على الرغم من ذلك ، لم ينشر Fermat عمله على الإطلاق.
بفضل التقدم الذي أحرزته ، ما لم يتمكن أرخميدس من حله إلا بصعوبة كبيرة وللحالات المنعزلة ، كان بإمكان فيرمات وديكارت حلها بسرعة ولعدد كبير من المنحنيات (المعروفة الآن باسم المنحنيات الجبرية).
لكن أفكاره اكتسبت القبول العام فقط من خلال جهود علماء الرياضيات الآخرين في النصف الأخير من القرن السابع عشر.
ساعد علماء الرياضيات فرانس فان شوتين وفلوريموند دي بون ويوهان دي ويت في توسيع أعمال ديكارت وأضافوا مواد إضافية مهمة.
تأثير
في إنجلترا ، قام جون واليس بتعميم الهندسة التحليلية. اعتاد المعادلات لتحديد المخروطات واستخلاص خصائصها. على الرغم من أنه استخدم إحداثيات سلبية بحرية ، إلا أن إسحاق نيوتن هو الذي استخدم محورين مائلين لتقسيم الطائرة إلى أربعة أرباع.
أحدث ثورة نيوتن وجوتفريد لايبنز الألمانية ثورة في الرياضيات في نهاية القرن السابع عشر من خلال إظهار قوة الحساب بشكل مستقل.
أظهر نيوتن أهمية الطرق التحليلية في الهندسة ودورها في حساب التفاضل والتكامل ، عندما أكد أن أي مكعب (أو أي منحنى جبري من الدرجة الثالثة) يحتوي على ثلاث أو أربع معادلات قياسية لمحور إحداثيات مناسبة. بمساعدة نيوتن نفسه ، اختبرها عالم الرياضيات الاسكتلندي جون ستيرلنغ في عام 1717.
الهندسة التحليلية من ثلاثة أبعاد وأكثر
رغم أن كلاً من ديكارت وفيرمات اقترحا استخدام ثلاثة إحداثيات لدراسة المنحنيات والأسطح في الفضاء ، إلا أن الهندسة التحليلية ثلاثية الأبعاد تطورت ببطء حتى عام 1730.
أنتج علماء الرياضيات يولر وهيرمان وكليروت معادلات عامة للاسطوانات والأقماع وأسطح الثورة.
على سبيل المثال ، استخدم Euler المعادلات للترجمات في الفضاء لتحويل السطح التربيعي العام ، بحيث تتزامن محاورها الرئيسية مع محاور الإحداثيات الخاصة بها.
جعل كل من أويلر ، وجوزيف لويس لاغرانج وجاسبارد مونجي الهندسة التحليلية مستقلة عن الهندسة التركيبية (غير التحليلية).
