كم عدد الحلول التي توجد بها المعادلة التربيعية؟
يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية أو معادلة الدرجة الثانية على صفر أو واحد أو اثنين من الحلول الحقيقية ، اعتمادًا على المعاملات التي تظهر في المعادلة المذكورة.
إذا كنت تعمل على أرقام معقدة ، فيمكنك القول أن كل معادلة من الدرجة الثانية لها حلان.
لبدء معادلة من الدرجة الثانية هي معادلة للفأس ax² + bx + c = 0 ، حيث a و b و c أرقام حقيقية و x متغير.
يُقال أن x1 هو حل للمعادلة التربيعية السابقة إذا كان استبدال x ب x1 يفي بالمعادلة ، أي إذا كانت (x1) ² + b (x1) + c = 0.
إذا كان لديك على سبيل المثال المعادلة x²-4x + 4 = 0 ، فإن x1 = 2 هي الحل لأن (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
على العكس من ذلك ، إذا تم استبدال x2 = 0 ، فسنحصل على (0) ²-4 (0) + 4 = 4 و 4 ≠ 0 ثم x2 = 0 ليست حلاً للمعادلة التربيعية.
حلول المعادلة التربيعية
يمكن فصل عدد حلول المعادلة التربيعية إلى حالتين:
1.- في الأعداد الحقيقية
عند العمل بأعداد حقيقية ، يمكن أن تحتوي المعادلات التربيعية على:
- الحلول: أي أنه لا يوجد رقم حقيقي يرضي المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، المعادلة التي تقدمها المعادلة x² + 1 = 0 ، لا يوجد رقم حقيقي يرضي هذه المعادلة ، لأن كل من x² أكبر من أو تساوي الصفر و 1 أكبر من الصفر ، بحيث يصبح مجموعها أكبر صارمة أن الصفر.
- حل متكرر: هناك قيمة حقيقية واحدة تلبي المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، الحل الوحيد للمعادلة x²-4x + 4 = 0 هو x1 = 2.
-حلولين مختلفين: هناك قيمتان ترضيان المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، يحتوي x² + x-2 = 0 على حلين مختلفين هما x1 = 1 و x2 = -2.
2.- بأعداد معقدة
عند التعامل مع الأعداد المركبة ، يكون للمعادلات التربيعية دائمًا حلان هما z1 و z2 حيث z2 هي تقارن z1. بالإضافة إلى أنه يمكن تصنيفها في:
-الملاحظات: الحلول من النموذج z = p ± qi ، حيث p و q أرقام حقيقية. هذه الحالة يتوافق مع الحالة الأولى من القائمة السابقة.
المعقدات الصرفة: هي عندما يكون الجزء الحقيقي من الحل مساوياً للصفر ، أي أن الحل له شكل z = ± qi ، حيث q عدد حقيقي. هذه الحالة يتوافق مع الحالة الأولى من القائمة السابقة.
- يكمل مع جزء وهمية يساوي الصفر: هو عندما يكون الجزء المعقد من الحل يساوي الصفر ، أي الحل هو رقم حقيقي. تتوافق هذه الحالة مع آخر حالتين من القائمة السابقة.
كيف يتم حساب حلول المعادلة التربيعية؟
لحساب حلول معادلة من الدرجة الثانية ، يتم استخدام صيغة تُعرف باسم "المُحلّل" ، والتي تنص على أن حلول المعادلة ax² + bx + c = 0 تُعطى بواسطة التعبير عن الصورة التالية:
يُطلق على الكمية التي تظهر داخل الجذر التربيعي التمييز في المعادلة التربيعية ويُشار إليها بالحرف "d".
المعادلة التربيعية لها:
حلولا حقيقية إذا ، وفقط إذا ، د> 0.
- حل حقيقي يتكرر إذا ، وفقط إذا ، د = 0.
- خمسة حلول حقيقية (أو حلان معقدان) إذا ، وفقط إذا ، d <0.
الأمثلة على ذلك:
- حلول المعادلة x² + x-2 = 0 مقدمة من:
- تحتوي المعادلة x²-4x + 4 = 0 على حل متكرر يتم تقديمه بواسطة:
- حلول المعادلة x² + 1 = 0 مقدمة من:
كما يتضح في هذا المثال الأخير ، x2 هي تقارن x1.
