ما هي المعادلات في وقت واحد؟ (مع التمارين حلها)
المعادلات المتزامنة هي تلك المعادلات التي يجب الوفاء بها في نفس الوقت. لذلك ، للحصول على معادلات متزامنة ، يجب أن يكون هناك أكثر من معادلة واحدة.
عندما يكون لديك معادلة مختلفة أو أكثر ، والتي يجب أن يكون لها نفس الحل (أو نفس الحلول) ، فأنت تقول أن لديك نظامًا من المعادلات أو تقول أن لديك معادلات متزامنة.
عندما يكون لديك معادلات متزامنة ، فقد يحدث أنه ليس لديهم حلول مشتركة أو لديهم كمية محدودة أو لديهم كمية غير محدودة.
معادلات في وقت واحد
بالنظر إلى معادلتين مختلفتين Eq1 و Eq2 ، لدينا أن يسمى نظام هاتين المعادلتين بالمعادلات المتزامنة.
تفي المعادلات المتزامنة بأنه إذا كانت S هي حل Eq1 ، فإن S هي أيضًا حل Eq2 والعكس صحيح
ملامح
عندما يتعلق الأمر بنظام المعادلات المتزامنة ، يمكنك الحصول على معادلتين أو 3 معادلات أو معادلات N.
الطرق الأكثر شيوعًا المستخدمة في حل المعادلات المتزامنة هي: الاستبدال والمعادلة والحد. هناك أيضًا طريقة أخرى تسمى قاعدة Cramer ، وهي مفيدة جدًا للأنظمة التي تحتوي على أكثر من معادلتين متزامنتين.
مثال على المعادلات المتزامنة هو النظام
Eq1: x + y = 2
Eq2: 2x-y = 1
يمكن الإشارة إلى أن x = 0 ، y = 2 هي حل Eq1 ولكنها ليست حلاً Eq2.
الحل المشترك الوحيد لكلتا المعادلتين هو x = 1 ، y = 1. وهذا هو ، س = 1 ، ص = 1 هو الحل لنظام المعادلات في وقت واحد.
تمارين تم حلها
ثم تابع لحل نظام المعادلات المتزامنة الموضح أعلاه ، من خلال الطرق الثلاثة المذكورة.
التمرين الأول
حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة الاستبدال.
حل
تتكون طريقة الاستبدال من إزالة أحد المجهولين في إحدى المعادلات ثم استبدالها في المعادلة الأخرى. في هذه الحالة بالذات ، يمكنك مسح «y» من Eq1 وستحصل على y = 2-x.
استبدال هذه القيمة «y» في Eq2 ، يتم الحصول عليها أن 2x- (2-x) = 1. لذلك ، نحصل على 3x-2 = 1 ، أي x = 1.
بعد ذلك ، نظرًا لأن قيمة x معروفة ، يتم استبدالها في "y" ويتم الحصول على y = 2-1 = 1.
لذلك ، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات المتزامنة Eq1 و Eq2 هو x = 1 ، y = 1.
التمرين الثاني
حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة المعادلة.
حل
تتمثل طريقة المعادلة في مسح نفس السؤال من كلا المعادلتين ثم معادلة المعادلات الناتجة.
بإزالة "x" من كلا المعادلتين ، نحصل على x = 2-y ، و x = (1 + y) / 2. الآن ، يتم حساب هاتين المعادلتين ونحصل على 2-y = (1 + y) / 2 ، حيث اتضح أن 4-2y = 1 + y.
يؤدي تجميع "y" غير المعروف على نفس الجانب إلى y = 1. الآن بعد أن أصبحنا نعرف "و" ، نواصل البحث عن قيمة "x". استبدال y = 1 ، نحصل على x = 2-1 = 1.
لذلك ، فإن الحل المشترك بين المعادلتين Eq1 و Eq2 هو x = 1 ، y = 1.
التمرين الثالث
حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة الاختزال.
حل
تتكون طريقة الخفض من ضرب المعادلات التي تقدمها المعامِلات المناسبة ، بحيث يتم إلغاء أحد المتغيرات عند إضافة هذه المعادلات.
في هذا المثال بالذات ، لا تحتاج إلى ضرب أي معادلة بأي معامل ، فقط قم بإضافتها معًا. عند إضافة Eq1 plus Eq2 نحصل على 3x = 3 ، والتي نحصل عليها x = 1.
عند تقييم x = 1 في Eq1 ، نحصل على 1 + y = 2 ، حيث اتضح أن y = 1.
لذلك ، س = 1 ، ص = 1 هو الحل الوحيد للمعادلات المتزامنة Eq1 و Eq2.
التمرين الرابع
حل نظام المعادلات المتزامنة Eq1: 2x-3y = 8 و Eq2: 4x-3y = 12.
حل
في هذا التمرين ، لا يلزم استخدام طريقة معينة ، وبالتالي يمكن تطبيق الطريقة الأكثر راحة لكل قارئ.
في هذه الحالة ، سيتم استخدام طريقة الخفض. ضرب Eq1 ب -2 يعطي المعادلة Eq3: -4x + 6y = -16. الآن ، إضافة Eq3 و Eq2 تعطي 3y = -4 ، وبالتالي y = -4 / 3.
الآن ، عند تقييم y = -4 / 3 في Eq1 ، نحصل على 2x-3 (-4/3) = 8 ، حيث 2x + 4 = 8 ، وبالتالي ، x = 2.
في الختام ، الحل الوحيد لنظام المعادلات المتزامنة Eq1 و Eq2 هو x = 2 ، y = -4 / 3.
ملاحظة
يمكن تطبيق الطرق الموضحة في هذه المقالة على أنظمة بها أكثر من معادلتين متزامنتين.
كلما زادت المعادلات والمزيد من المجهول ، أصبح إجراء حل النظام أكثر تعقيدًا.
أي طريقة لحل أنظمة المعادلات سوف تسفر عن نفس الحلول ، أي أن الحلول لا تعتمد على الطريقة المطبقة.
