الاستيفاء الخطي: الطريقة ، التمارين التي تم حلها
الاستيفاء الخطي هو طريقة تنشأ عن الاستيفاء العام لنيوتن وتسمح بتحديد قيمة غير معروفة تقريبًا بين رقمين ؛ وهذا هو ، هناك قيمة وسيطة. يتم تطبيقه أيضًا على الدالات التقريبية ، حيث تكون القيمتان f (a) و f (b) معروفة وتريد معرفة وسيط f (x) .
هناك أنواع مختلفة من الاستيفاء ، مثل الدرجات الخطية والتربيعية والمكعبية والعالية ، وأبسطها هو التقريب الخطي. السعر الذي يجب دفعه مع الاستيفاء الخطي هو أن النتيجة لن تكون دقيقة كما هو الحال مع التقريب بواسطة الدرجات العليا.
تعريف
الاستيفاء الخطي هو عملية تسمح لك باستنتاج قيمة بين قيمتين محددتين جيدًا ، والتي يمكن أن تكون في جدول أو في رسم بياني خطي.
على سبيل المثال ، إذا كنت تعلم أن 3 لترات من الحليب تساوي 4 دولارات وأن 5 لترات تساوي 7 دولارات ، لكنك تريد أن تعرف قيمة 4 لترات من الحليب ، أقحم لتحديد هذه القيمة الوسيطة.
طريقة
لتقدير قيمة وسيطة لوظيفة ما ، يتم تقريب الوظيفة f (x) بخط r (x) ، مما يعني أن الوظيفة تختلف خطيًا مع "x" لتمتد "x = a" و "x = ب »؛ أي بالنسبة لقيمة "x" في الفاصل الزمني (x 0 ، x 1 ) y (y 0 ، y 1 ) ، يتم إعطاء قيمة "y" بواسطة الخط الفاصل بين النقاط ويتم التعبير عنها بالعلاقة التالية:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
لكي يكون الاستيفاء خطيًا ، من الضروري أن يكون كثير الإقحام من الدرجة الأولى (ن = 1) ، بحيث يتم ضبطه على قيم x 0 و x 1.
يعتمد الاستيفاء الخطي على تشابه المثلثات ، بحيث يمكننا ، من خلال الشكل الهندسي المستمد من التعبير السابق ، الحصول على قيمة «y» ، والتي تمثل القيمة غير المعروفة لـ «x».
بهذه الطريقة عليك:
a = tan Ɵ = (الجانب المقابل 1 ÷ الجانب المجاور 1 ) = (الجانب الآخر 2 side الجانب المجاور 2 )
يتم التعبير عنها بطريقة أخرى ، وهي:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
عن طريق مسح "و" من التعبيرات ، لديك:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
وبالتالي ، نحصل على المعادلة العامة للاستيفاء الخطي:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
بشكل عام ، يقدم الاستيفاء الخطي خطأ بسيطًا في القيمة الحقيقية للوظيفة الحقيقية ، على الرغم من أن الخطأ ضئيل مقارنةً إذا اخترت رقمًا قريبًا من الرقم الذي تريد العثور عليه.
يحدث هذا الخطأ عند محاولة تقريب قيمة المنحنى بخط مستقيم ؛ لهذه الحالات يجب تقليل حجم الفاصل الزمني لجعل النهج أكثر دقة.
للحصول على نتائج أفضل فيما يتعلق بالمنهج ، يُنصح باستخدام وظائف الصف 2 أو 3 أو حتى درجات أعلى لتنفيذ الاستيفاء. لهذه الحالات فإن نظرية تايلور هي أداة مفيدة للغاية.
تمارين حلها
التمرين 1
يتم عرض عدد البكتيريا لكل وحدة تخزين موجودة في الحضانة بعد × ساعات في الجدول التالي. تريد أن تعرف حجم البكتيريا لمدة 3.5 ساعات.
حل
لا يحدد الجدول المرجعي قيمة تشير إلى مقدار البكتيريا لمدة 3.5 ساعات ولكن لديها قيم أعلى وأقل تقابل وقت 3 و 4 ساعات ، على التوالي. بهذه الطريقة:
× 0 = 3 و 0 = 91
س = 3.5 ذ =؟
× 1 = 4 و 1 = 135
الآن ، يتم تطبيق المعادلة الرياضية للعثور على القيمة المحرف ، وهو ما يلي:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
ثم يتم استبدال القيم المقابلة:
y = 91 + (135 - 91) * [(3،5 - 3) ÷ (4 - 3)]
ذ = 91 + (44) * [(0.5) ÷ (1)]
ذ = 91 + 44 * 0.5
ذ = 113
وهكذا تم الحصول على أنه لمدة 3.5 ساعة ، كمية البكتيريا هي 113 ، وهو ما يمثل مستوى متوسط بين حجم البكتيريا الموجودة في أوقات 3 و 4 ساعات.
التمرين 2
لويس لديه مصنع للآيس كريم ، ويريد إجراء دراسة لتحديد الدخل الذي حصل عليه في أغسطس من النفقات التي تم تكبدها. يقوم مدير الشركة بعمل رسم بياني يعبر عن تلك العلاقة ، لكن لويس يريد أن يعرف:
ما هو الدخل لشهر أغسطس ، إذا تم حساب 55000 دولار؟
حل
يتم إعطاء الرسم البياني مع قيم الدخل والمصروفات. يريد لويس أن يعرف ماهية دخل شهر أغسطس إذا كان للمصنع مصروف بلغ 55000 دولار. لا تنعكس هذه القيمة مباشرة في الرسم البياني ، ولكن القيم الأعلى والأقل من هذه متوفرة.
أولاً ، يتم إعداد جدول لربط القيم بسهولة:
الآن ، يتم استخدام صيغة الاستيفاء لتحديد قيمة y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
ثم يتم استبدال القيم المقابلة:
ذ = 56000 + (78000 - 56000) * [(55000 - 45000) ÷ (62000 - 45000)]
ذ = 56000 + (22000) * [(10،000) ÷ (17000)]
ذ = 56000 + (22000) * (0.588)
ذ = 56000 + 12،936
ذ = 68،936 دولار.
إذا تم حساب 55000 دولار في أغسطس ، كان الدخل 68936 دولار.
