نظرية موivر: ماذا تتكون ، مظاهرة وتمارين

تطبق نظرية Moivre العمليات الأساسية للجبر ، مثل القوى واستخراج الجذور بأعداد معقدة. تم توضيح هذه النظرية من قبل عالم الرياضيات الفرنسي الشهير أبراهام دي موفري (1730) ، الذي ربط الأعداد المركبة مع علم المثلثات.

أبراهام موفري جعل هذا الارتباط من خلال تعبيرات الثدي وجيب التمام. ولد هذا العالم الرياضي نوعًا من الصيغة يُمكن من خلاله زيادة عدد معقد za power n ، وهو عدد صحيح موجب أكبر أو يساوي 1.

ما هي نظرية موivر؟

تنص نظرية موفير على ما يلي:

إذا كان لدينا رقم مركب في النموذج القطبي z = r _Ɵ ، حيث r هي الوحدة النمطية للرقم المركب z ، وتسمى الزاوية itude السعة أو الوسيطة لأي رقم مركب مع 0 ≤ Ɵ ≤ 2π ، لحساب رقمه n هذه القوة لن تكون ضرورية لضربها بمفردها n- مرات ؛ أي أنه ليس من الضروري عمل المنتج التالي:

Zn = z _* z _* z _*. _. _{. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.} _. _* ص ص ن مرات.

على العكس من ذلك ، تقول النظرية أنه عند كتابة z في شكله المثلثي ، لحساب القوة التاسعة ، فإننا نمضي على النحو التالي:

إذا z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ثم zn = rn (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

على سبيل المثال ، إذا كانت n = 2 ، ثم z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. إذا كان لديك هذا n = 3 ، ثم z3 = z2 _* z. بالإضافة إلى ذلك:

z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

بهذه الطريقة ، يمكن الحصول على النسب المثلثية للجيب وجيب التمام لمضاعفات الزاوية ، طالما أن النسب المثلثية للزاوية معروفة.

بالطريقة نفسها ، يمكن استخدامه للعثور على تعبيرات أكثر دقة وأقل إرباكًا للجذر التاسع للرقم المركب z ، بحيث يكون zn = 1.

لإظهار نظرية Moivre ، يتم استخدام مبدأ الاستقراء الرياضي: إذا كان عدد صحيح "a" لديه خاصية "P" ، وإذا كان لأي عدد صحيح "n" أكبر من "a" مع الخاصية "P" فهو يرضي أن n + 1 له أيضًا الخاصية "P" ، لذلك جميع الأعداد الصحيحة أكبر من أو تساوي "a" لها الخاصية "P".

عرض

بهذه الطريقة ، يتم إثبات النظرية من خلال الخطوات التالية:

قاعدة الاستقرائي

تحقق أولاً من n = 1.

بما أن z1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 _* Ɵ) + i _* sin (1 _* Ɵ)] ، لدينا أنه بالنسبة إلى n = 1 ، فإن النظرية تتحقق.

فرضية الاستقرائي

من المفترض أن الصيغة صحيحة لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة ، أي ، n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k = rk (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

تجريب

ثبت أن ذلك صحيح بالنسبة لـ n = k + 1.

منذ zk + 1 = zk _* z ، ثم zk + 1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* sinƟ) .

ثم تتضاعف التعبيرات:

zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* sinƟ )).

للحظة يتم تجاهل العامل rk + 1 ، ويتم استخراج العامل المشترك i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i2 (sin kƟ) _* (sinƟ).

كما i2 = -1 ، فإننا نستبدلها في التعبير ونحصل على:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

الآن يتم ترتيب الجزء الحقيقي والخيال:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i [(sin kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (sinƟ)].

لتبسيط التعبير ، يتم تطبيق الهويات المثلثية لمجموع الزوايا لجيب التمام والجيب ، وهي:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

في هذه الحالة ، تكون المتغيرات هي الزاويتين Ɵ و kƟ. عند تطبيق الهويات المثلثية ، لدينا:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

بهذه الطريقة ، يظل التعبير:

zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

zk + 1 = rk + 1 (cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

وبالتالي ، يمكن إثبات أن النتيجة صحيحة بالنسبة إلى n = k + 1. من خلال مبدأ الحث الرياضي ، يستنتج أن النتيجة صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة ؛ هذا هو ، ن 1.

عدد صحيح سالب

يتم تطبيق نظرية Moivre أيضًا عند n ≤ 0. فكر في عدد صحيح سالب «n»؛ ثم يمكن كتابة "n" كـ "-m" ، أي ، n = -m ، حيث "m" عدد صحيح موجب. لذلك:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) -m

للحصول على الأس «م» بشكل إيجابي ، يتم كتابة التعبير في الاتجاه المعاكس:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

الآن ، يتم استخدام أنه إذا كان z = a + b * i هو رقم مركب ، فعندئذٍ 1 = z = ab * i. لذلك:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

باستخدام cos (x) = cos (-x) وذلك -sen (x) = sin (-x) ، يتعين علينا:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i _* sin (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

بهذه الطريقة ، يمكن القول أن النظرية تنطبق على جميع القيم الصحيحة لـ "n".

تمارين حلها

حساب القوى الإيجابية

واحدة من العمليات ذات الأعداد المركبة في شكلها القطبي هي الضرب بين اثنين من هذه ؛ في هذه الحالة ، يتم ضرب الوحدات النمطية وتتم إضافة الوسائط.

إذا كان لديك رقمان معقدان z _{1 و} z ₂ وتريد حساب (z ₁ * z ₂ ) 2 ، فتابع على النحو التالي:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ɵ ₁ + i _* sin Ɵ ₁ )] * [r ₂ (cos Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ ₂ )]

يتم تطبيق خاصية التوزيع:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ) .

يتم تجميعها ، مع الأخذ المصطلح "i" كعامل شائع للتعبيرات:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

كما i2 = -1 ، يتم استبداله في التعبير:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

يتم إعادة تجميع المصطلحات الحقيقية مع خيال حقيقي وهمي:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [(cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ) + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ )]

أخيرًا ، يتم تطبيق الخصائص المثلثية:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (+ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

في الختام:

(z ₁ * z ₂ ) 2 = (r ₁ r ₂ [cos (+ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )]) 2

= r ₁ 2r ₂ 2 [cos 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

التمرين 1

اكتب الرقم المركب في شكل قطبي إذا z = - 2 -2i. ثم ، باستخدام نظرية Moivre ، احسب z4.

حل

يتم التعبير عن العدد المركب z = -2 -2i بالشكل المستطيل z = a + bi ، حيث:

أ = -2.

ب = -2

مع العلم أن الشكل القطبي هو z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ، نحتاج إلى تحديد قيمة الوحدة النمطية «r» وقيمة الوسيطة «Ɵ». كما r = √ (a² + b²) ، يتم استبدال القيم المعطاة:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

ثم ، لتحديد قيمة «Ɵ» ، يتم تطبيق الشكل المستطيل لهذا ، والذي يتم تقديمه بواسطة الصيغة:

تان Ɵ = ب ÷ أ

تان Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

بما أن tan (Ɵ) = 1 وعليك أن <0 ، فيجب عليك:

Ɵ = أركان (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

نظرًا لأن قيمة "r" و "Ɵ" قد تم الحصول عليها بالفعل ، يمكن التعبير عن العدد المركب z = -2 -2i بالشكل القطبي باستبدال القيم:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

الآن يتم استخدام نظرية Moivre لحساب z4:

z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

التمرين 2

ابحث عن منتج الأعداد المركبة من خلال التعبير عنها في شكلها القطبي:

z1 = 4 (cos 50o + i _* sin 50o)

Z2 = 7 (cos 100o + i _* sin 100o).

ثم ، قم بحساب (z1 * z2) ².

حل

أولاً يتم تكوين منتج الأرقام المعطاة:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50o + i _* sin 50o)] * [7 (cos 100o + i _* sin 100o)]

ثم اضرب الوحدات معًا ، وأضف الوسائط:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50o + 100o) + i _* sin (50o + 100o)]

التعبير مبسط:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o).

وأخيرا ، يتم تطبيق نظرية Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i _* sin 300o)).

حساب القوى السلبية

لتقسيم رقمين مركبتين z _{1 و} z ₂ إلى شكلهما القطبي ، يتم تقسيم الوحدة النمطية ويتم طرح الوسائط. وبالتالي ، فإن الحاصل هو z ₁ ÷ z ₂ ويتم التعبير عنها على النحو التالي:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ )]).

كما في الحالة السابقة ، إذا كنت تريد حساب (z1 ÷ z2) ³ أولاً يتم إنشاء القسمة ثم يتم استخدام نظرية Moivre.