نظرية بولزانو: الشرح والتطبيقات والتمارين التي تم حلها
تنص نظرية بولزانو على أنه إذا كانت الوظيفة مستمرة في جميع نقاط الفاصل المغلق [أ ، ب] وأنها مقتنعة بأن صورة "أ" و "ب" (تحت الوظيفة) لها علامات عكسية ، فستكون موجودة ل نقطة واحدة على الأقل «c» في الفاصل الزمني المفتوح (أ ، ب) ، بحيث تكون الوظيفة التي تم تقييمها في «c» تساوي 0.
أعلن هذا الفيلسوف ، عالم اللاهوت والرياضيات برنارد بولزانو في عام 1850. كان هذا العالم ، الذي ولد في الجمهورية التشيكية الحالية ، واحدًا من أوائل علماء الرياضيات في التاريخ لتقديم عرض رسمي لخصائص الوظائف المستمرة.
تفسير
تُعرف نظرية بولزانو أيضًا باسم نظرية القيم الوسيطة ، والتي تساعد في تحديد قيم معينة ، وخاصة الأصفار ، لوظائف حقيقية معينة لمتغير حقيقي.
في دالة معينة ، يستمر f (x) ، أي أن f (a) و f (b) متصلان بمنحنى ، حيث f (a) أسفل المحور x (سلبي) ، و f (b) أعلى المحور x (يكون موجبًا) ، أو العكس ، ستكون هناك نقطة قطع على المحور x تمثل قيمة وسيطة «c» ، والتي ستكون بين «a» و «b» ، وقيمة f (c) سوف يساوي 0
من خلال التحليل النظري لنظرية بولزانو ، يمكننا أن نعرف أنه لكل دالة f مستمر معرف في فاصل زمني [أ ، ب] ، حيث f (a) * f (b) أقل من 0 ، سيكون هناك جذر واحد على الأقل «c »من هذه الوظيفة داخل الفاصل (أ ، ب).
لا تحدد هذه النظرية عدد النقاط الموجودة في هذه الفترة الزمنية المفتوحة ، وتنص فقط على أن هناك نقطة واحدة على الأقل.
عرض
لإثبات نظرية بولزانو ، يفترض دون فقدان للعمومية أن f (a) 0 ؛ بهذه الطريقة ، قد يكون هناك العديد من القيم بين «a» و «b» والتي f (x) = 0 ، ولكن هناك حاجة لإثبات وجود واحدة فقط.
ابدأ بتقييم f عند نقطة المنتصف (a + b) / 2. إذا كانت f ((a + b) / 2) = 0 ، ينتهي الاختبار هنا ؛ خلاف ذلك ، ثم f ((a + b) / 2) موجب أو سالب.
يتم اختيار أحد نصفي الفاصل الزمني [a، b] ، بحيث تكون علامات الدالة التي تم تقييمها في النهايات مختلفة. سيكون هذا الفاصل الزمني الجديد [a1، b1].
الآن ، إذا تم تقييم f عند نقطة المنتصف [a1 ، b1] ليست صفرية ، فسيتم تنفيذ نفس العملية كما كان من قبل ؛ أي ، يتم اختيار نصف هذا الفاصل الزمني الذي يفي بشرط العلامات. دع هذا الفاصل الزمني الجديد هو [a2، b2].
إذا استمرت هذه العملية ، فسيتم اتخاذ تسلسلين {an} و {bn} ، بحيث:
{an} آخذ في الازدياد و {bn} آخذ في التناقص:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ مليار ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
إذا قمت بحساب طول كل فاصل زمني [ai ، bi] ، فسيتعين عليك:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2 ².
....
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
لذلك ، فإن الحد عندما يميل n إلى ما لا نهاية (bn-an) يساوي 0.
باستخدام ذلك {an} يتزايد ويحد ، {bn} يتناقص ويحد ، هناك قيمة "c" بحيث:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ مليار ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
حد a هو "c" وحد {bn} هو أيضا "c". لذلك ، نظرًا لأي δ> 0 ، يوجد دائمًا "n" بحيث يتم تضمين الفاصل الزمني [an، bn] ضمن الفاصل الزمني (c-δ، c + δ).
الآن ، يجب أن يظهر أن f (c) = 0.
إذا كانت f (c)> 0 ، إذا كانت f مستمرة ، فهناك ε> 0 بحيث تكون f موجبة طوال الفترة (c-ε، c + ε). ومع ذلك ، كما هو مذكور أعلاه ، توجد قيمة "n" بحيث يتم تسجيل التغييرات f في [an، bn] وبالإضافة إلى ذلك ، [an، bn] موجودة داخل (c-ε، c + ε)، وهو تناقض.
إذا كانت f (c) 0 بحيث تكون f سالبة طوال الفاصل (c-ε، c + ε)؛ ولكن توجد قيمة "n" بحيث تسجل f التغييرات في [an، bn]. اتضح أن [an، bn] موجود داخل (c-ε، c + ε) ، وهو أيضًا تناقض.
لذلك ، f (c) = 0 وهذا ما أردنا إظهاره.
ما هذا؟
من تفسيرها الرسومي ، تُستخدم نظرية بولزانو للعثور على الجذور أو الأصفار في وظيفة مستمرة ، من خلال التنصيص (التقريب) ، وهي طريقة بحث تزايدي تقسم الفواصل الزمنية دائمًا إلى 2.
ثم خذ فاصل زمني [a، c] أو [c، b] حيث يحدث تغيير الإشارة ، وكرر العملية حتى يصبح الفاصل الزمني أصغر وأصغر ، بحيث يمكنك الاقتراب من القيمة التي تريدها ؛ بمعنى ، القيمة التي تجعل الدالة 0.
باختصار ، لتطبيق نظرية بولزانو وبالتالي العثور على الجذور ، وتحديد الأصفار لوظيفة أو إعطاء حل للمعادلة ، يتم تنفيذ الخطوات التالية:
- تحقق مما إذا كانت f هي وظيفة مستمرة في الفاصل الزمني [a، b].
- إذا لم يتم إعطاء الفاصل الزمني ، يجب العثور على واحد حيث تكون الوظيفة مستمرة.
- تحقق مما إذا كانت الأطراف الفاصلة تعطي علامات معاكسة عند تقييمها في ص.
- إذا لم يتم الحصول على علامات معاكسة ، فيجب تقسيم الفاصل الزمني إلى فترتين فرعيتين باستخدام نقطة المنتصف.
- تقييم الوظيفة عند نقطة المنتصف وتحقق من تلبية فرضية بولزانو ، حيث f (a) * f (b) <0.
- اعتمادًا على علامة (إيجابية أو سلبية) للقيمة الموجودة ، يتم تكرار العملية بفترة فرعية جديدة حتى يتم تحقيق الفرضية المذكورة أعلاه.
تمارين حلها
التمرين 1
حدد ما إذا كانت الدالة f (x) = x2 - 2 ، تحتوي على حل حقيقي واحد على الأقل في الفاصل الزمني [1،2].
حل
لدينا الدالة f (x) = x2 - 2. نظرًا لأنه متعدد الحدود ، فهذا يعني أنه مستمر في أي فاصل زمني.
يُطلب منك تحديد ما إذا كان لديك حل حقيقي في الفاصل الزمني [1 ، 2] ، لذا فأنت الآن بحاجة فقط إلى استبدال الحدود القصوى للفاصل الزمني في الوظيفة لمعرفة علامة هذه النقاط ومعرفة ما إذا كانت تستوفي شرط اختلاف:
f (x) = x2 - 2
f (1) = 12 - 2 = -1 (سالبة)
f (2) = 22 - 2 = 2 (موجب)
لذلك ، علامة f (1) ≠ علامة f (2).
هذا يضمن أن هناك نقطة واحدة على الأقل "c" تنتمي إلى الفاصل الزمني [1،2] ، حيث f (c) = 0.
في هذه الحالة ، يمكن حساب قيمة "c" بسهولة كما يلي:
x2 - 2 = 0
س = ± √2.
وبالتالي ، فإن √2 ≈ 1.4 تنتمي إلى الفاصل الزمني [1،2] وترضي أن f ()2) = 0.
التمرين 2
بيّن أن المعادلة x5 + x + 1 = 0 بها حل حقيقي واحد على الأقل.
حل
لاحظ أولاً أن f (x) = x5 + x + 1 هي دالة متعددة الحدود ، مما يعني أنها مستمرة في جميع الأرقام الحقيقية.
في هذه الحالة ، لا يتم إعطاء فاصل زمني ، لذلك يجب اختيار القيم بشكل حدسي ، ويفضل أن يكون ذلك بالقرب من 0 ، لتقييم الوظيفة والعثور على التغييرات في علامة:
إذا كنت تستخدم الفاصل الزمني [0 ، 1] عليك:
f (x) = x5 + x + 1.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
نظرًا لعدم وجود تغيير في الإشارة ، يتم تكرار العملية بفاصل زمني آخر.
إذا كنت تستخدم الفاصل الزمني [-1 ، 0] ، يجب عليك:
f (x) = x5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
في هذا الفاصل الزمني ، يكون هناك تغيير في العلامة: علامة f (-1) ≠ علامة f (0) ، مما يعني أن الدالة f (x) = x5 + x + 1 لها جذر حقيقي واحد على الأقل «c» في الفاصل الزمني [-1 ، 0] ، مثل f (c) = 0. وبعبارة أخرى ، صحيح أن x5 + x + 1 = 0 لديه حل حقيقي في الفاصل الزمني [-1،0].
