نظرية Chebyshov: في ما يتكون ، تطبيقات وأمثلة

تعتبر نظرية Chebyshov (أو عدم المساواة في Chebyshov ) واحدة من أهم النتائج الكلاسيكية لنظرية الاحتمال. يسمح بتقدير احتمالية وقوع حدث موصوف من حيث المتغير العشوائي X ، من خلال تزويدنا ببعد لا يعتمد على توزيع المتغير العشوائي ولكن على تباين X.

تم تسمية النظرية تكريما لعالم الرياضيات الروسي Pafnuty Chebyshov (المكتوب أيضا باسم Chebychev أو Tchebycheff) الذي ، على الرغم من عدم كونه أول من أعلن عن هذه النظرية ، كان أول من قدم مظاهرة في عام 1867.

هذا عدم المساواة ، أو تلك التي تسمى خصائصها Chebyshov عدم المساواة ، ويستخدم أساسا لتقريب الاحتمالات عن طريق حساب الأبعاد.

ماذا تتكون؟

في دراسة نظرية الاحتمالات ، يحدث أنه إذا علمنا وظيفة التوزيع لمتغير عشوائي X ، يمكننا حساب القيمة المتوقعة - أو التوقع الرياضي E (X) - والتباين Var (X) ، طالما الكميات المذكورة موجودة. ومع ذلك ، فإن المعاملة بالمثل ليست صحيحة بالضرورة.

بمعنى أن معرفة E (X) و Var (X) لا يمكن بالضرورة الحصول على وظيفة التوزيع لـ X ، لذلك يصعب الحصول على كميات مثل P (| X |> k) لبعض k> 0. لكن بفضل عدم المساواة في Chebyshov ، من الممكن تقدير احتمال المتغير العشوائي.

تخبرنا نظرية Chebyshov بأنه إذا كان لدينا متغير عشوائي X على مساحة عينة S مع دالة الاحتمال p ، وإذا كانت k> 0 ، فعندئذٍ:

التطبيقات والأمثلة

من بين العديد من التطبيقات التي تمتلكها نظرية تشيبيشوف ، يمكن ذكر ما يلي:

يحد من الاحتمالات

هذا هو التطبيق الأكثر شيوعًا ويستخدم لإعطاء حد أعلى لـ P (| XE (X) | ≥k) حيث k> 0 ، فقط مع التباين وتوقع المتغير العشوائي X ، دون معرفة وظيفة الاحتمال .

مثال 1

افترض أن عدد المنتجات المصنعة في الشركة خلال أسبوع هو متغير عشوائي بمتوسط 50.

إذا علمنا أن التباين في أسبوع الإنتاج يساوي 25 ، فماذا يمكن أن نقول عن احتمال اختلاف الإنتاج هذا الأسبوع بأكثر من 10 عن المتوسط؟

حل

بتطبيق عدم المساواة في Chebyshov علينا:

من هذا يمكننا أن نحصل على احتمال أن يتجاوز عدد المقالات في أسبوع الإنتاج أكثر من 10 إلى المتوسط على الأقل 1/4.

مظاهرة الحد النظريات

يلعب عدم المساواة في تشيبيشوف دورًا مهمًا في عرض أهم نظريات الحد. كمثال لدينا ما يلي:

ضعف قانون الأعداد الكبيرة

ينص هذا القانون على أنه وفقًا لتسلسل X1 و X2 و ... و Xn و ... للمتغيرات العشوائية المستقلة التي لها نفس متوسط التوزيع E (Xi) = μ والتباين Var (X) = σ2 وعينة متوسطة معروفة من:

ثم من أجل k> 0 عليك:

أو بالتساوي:

عرض

أولاً دعنا نلاحظ ما يلي:

نظرًا لأن X1 و X2 و ... و Xn مستقلة ، يتبع ذلك:

لذلك ، من الممكن تأكيد ما يلي:

ثم ، باستخدام نظرية Chebyshov ، علينا:

أخيرًا ، تنتج النظرية عن حقيقة أن الحد إلى اليمين هو صفر عندما يميل n إلى ما لا نهاية.

تجدر الإشارة إلى أن هذا الاختبار تم فقط للحالة التي يوجد فيها تباين Xi ؛ وهذا هو ، فإنه لا تتباعد. لذلك نلاحظ أن النظرية صحيحة دائمًا في حالة وجود E (Xi).

نظرية Chebyshov الحد

إذا كانت X1 ، X2 ، ... ، Xn ، ... عبارة عن سلسلة متغيرات عشوائية مستقلة بحيث يكون هناك بعض C0:

عرض

نظرًا لأن تتابع الفروق مرتبط بشكل موحد ، فلدينا Var (Sn) ≤ C / n ، لكل n الطبيعية. لكننا نعرف أن:

بجعل n تميل نحو اللانهاية ، النتائج التالية:

نظرًا لأن الاحتمال لا يمكن أن يتجاوز قيمة 1 ، يتم الحصول على النتيجة المرجوة. نتيجة لهذه النظرية ، يمكن أن نذكر حالة برنولي المعينة.

إذا تم تكرار التجربة n مرات بشكل مستقل مع نتيجتين محتملتين (الفشل والنجاح) ، حيث p هي احتمال النجاح في كل تجربة و X هي المتغير العشوائي الذي يمثل عدد النجاحات التي تم الحصول عليها ، ثم لكل k> 0 عليك أن:

حجم العينة

من حيث التباين ، فإن عدم المساواة في Chebyshov يسمح لنا بإيجاد حجم عينة n يكفي لضمان أن احتمال حدوث | Sn-μ |> = k ضئيل كما هو مطلوب ، مما يسمح لنا بتقريب إلى المتوسط.

على وجه التحديد ، دع X1 و X2 و ... Xn عبارة عن عينة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الحجم n ودع E (Xi) = μ والتباين σ2. ثم ، بسبب عدم المساواة في Chebyshov ، يتعين علينا:

مثال

افترض أن X1 ، X2 ، ... Xn هي عينة من المتغيرات العشوائية المستقلة مع توزيع Bernoulli ، بحيث تأخذ القيمة 1 بالاحتمال p = 0.5.

ما الذي يجب أن يكون حجم العينة لتضمنه أن احتمال أن يكون الفرق بين الحساب الحسابي يعني Sn والقيمة المتوقعة له (التي تزيد عن 0.1) ، أقل من أو يساوي 0. ، 01؟

حل

لدينا ذلك E (X) = μ = p = 0.5 وأن Var (X) = σ2 = p (1-p) = 0.25. لعدم المساواة في Chebyshov ، لأي k> 0 علينا:

الآن ، بأخذ k = 0.1 و 0.01 = 0.01 ، يتعين علينا:

وبهذه الطريقة ، يستنتج أن حجم عينة لا يقل عن 2500 مطلوب لضمان أن يكون احتمال الحدث | Sn - 0.5 |> = 0.1 أقل من 0.01.

عدم المساواة نوع Chebyshov

هناك العديد من أوجه عدم المساواة المتعلقة بعدم المساواة في Chebyshov. واحدة من أشهرها هو عدم المساواة في ماركوف:

في هذا التعبير ، X هو متغير عشوائي غير سلبي مع k ، r> 0.

يمكن أن يتخذ عدم المساواة ماركوف أشكالًا مختلفة. على سبيل المثال ، اجعل Y متغيرًا عشوائيًا غير سالب (لذلك P (Y> = 0) = 1) وافترض أن E (Y) = μ موجود. افترض أيضًا أن (E (Y)) r = μ _r موجودة في عدد صحيح r> 1. ثم: