توزيعات الاحتمالية المنفصلة: الخصائص والتمارين

توزيعات الاحتمال المنفصلة هي وظيفة تعين لكل عنصر من عناصر X (S) = {x1 ، x2 ، ... ، xi ، ...} ، حيث X هي متغير عشوائي منفصل معين و S هي مساحة العينة الخاصة به ، والاحتمال الذي وقال حدث يحدث. هذه الوظيفة f من X (S) المعرّفة كـ f (xi) = P (X = xi) تسمى أحيانًا دالة الكتلة الاحتمالية.

وعادة ما يتم تمثيل هذه الكتلة من الاحتمالات كجدول. نظرًا لأن X هو متغير عشوائي منفصل ، فإن X (S) يحتوي على عدد محدود من الأحداث أو عدد لا نهائي. من بين توزيعات الاحتمالية المنفصلة الأكثر شيوعًا لدينا التوزيع الموحد والتوزيع ذو الحدين وتوزيع بواسون.

ملامح

يجب أن تفي وظيفة توزيع الاحتمال بالشروط التالية:

علاوة على ذلك ، إذا كانت X تأخذ فقط عددًا محدودًا من القيم (على سبيل المثال ، x1 ، x2 ، ... ، xn) ، ثم p (xi) = 0 إذا كنت <ny ، لذلك ، تصبح السلسلة غير المحدودة من الشرط b سلسلة محدودة.

تفي هذه الوظيفة أيضًا بالخصائص التالية:

دع B يكون حدث مرتبط مع المتغير العشوائي X. هذا يعني أن B موجود في X (S). على وجه التحديد ، افترض أن B = {xi1 ، xi2 ، ...}. لذلك:

بمعنى آخر ، فإن احتمال وقوع الحدث B يساوي مجموع احتمالات النتائج الفردية المرتبطة ب.

من هذا المنطلق يمكننا أن نستنتج أنه إذا كانت <b ، والأحداث (X ≤ a) و (a <X ≤ b) يستبعد كل منهما الآخر ، وبالإضافة إلى ذلك ، فإن اتحادهما هو الحدث (X ≤ b) ، لذلك لدينا:

نوع

توزيع موحد على نقاط ن

يقال إن المتغير العشوائي X يتبع التوزيع الذي يتميز بالتوحيد في نقاط n إذا تم تعيين نفس القيمة لكل قيمة. وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي:

لنفترض أن لدينا تجربة لها نتيجتان محتملتان ، يمكن أن يكون القذف بعملة معدنية تكون نتيجتها وجهًا أو طابعًا أو اختيار عدد صحيح يمكن أن تكون نتيجته رقمًا زوجيًا أو رقمًا فرديًا ؛ يُعرف هذا النوع من التجارب باسم اختبارات برنولي.

بشكل عام ، يطلق على النتيجتين المحتملتين النجاح والفشل ، حيث p هي احتمالية النجاح وواحد الفشل. يمكننا تحديد احتمال النجاح x في اختبارات n Bernoulli المستقلة عن بعضها البعض مع التوزيع التالي.

توزيع ذو الحدين

هذه هي الوظيفة التي تمثل احتمال الحصول على النجاحات x في اختبارات Bernoulli المستقلة ، والتي يكون احتمال نجاحها هو p. وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي:

يمثل الرسم البياني التالي دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة لمعلمات التوزيع ذي الحدين.

التوزيع التالي مدين باسم عالم الرياضيات الفرنسي Simeon Poisson (1781-1840) ، الذي حصل عليه كحد أقصى للتوزيع ذي الحدين.

توزيع بواسون

يقال إن المتغير العشوائي X له توزيع Poisson للمعلمة λ عندما يمكن أن يأخذ قيم الأعداد الصحيحة الموجبة 0،1،2،3 ، ... بالاحتمال التالي:

في هذا التعبير ، average هو متوسط العدد المقابل لحدوث الحدث لكل وحدة زمنية ، و x هو عدد مرات حدوث الحدث.

وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي:

بعد ذلك ، رسم بياني يمثل دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة لمعلمات توزيع بواسون.

لاحظ أنه طالما أن عدد النجاحات منخفض وكان عدد الاختبارات التي تم إجراؤها في توزيع ذي حدين مرتفعًا ، فيمكننا دائمًا تقريب هذه التوزيعات ، نظرًا لأن توزيع Poisson هو الحد الأقصى للتوزيع ذي الحدين.

والفرق الرئيسي بين هاتين التوزيعتين هو أنه ، في حين يعتمد الحدين على معلمتين - وهما n و p- يعتمد Poisson فقط على λ ، والتي تسمى أحيانًا شدة التوزيع.

حتى الآن لم نتحدث إلا عن توزيعات الاحتمال للحالات التي تكون فيها التجارب المختلفة مستقلة عن بعضها البعض ؛ وهذا هو ، عندما لا تتأثر نتيجة واحدة من بعض النتائج الأخرى.

عندما تحدث حالة وجود تجارب غير مستقلة ، يكون التوزيع الهندسي الفائق مفيدًا جدًا.

توزيع Hypergeometric

اجعل N هو العدد الإجمالي للكائنات في مجموعة محددة ، والتي يمكننا من خلالها تحديد ak لهذه الأشياء بطريقة ما ، وبالتالي تشكيل مجموعة فرعية K ، والتي يتكون مكملها من العناصر Nk المتبقية.

إذا قمنا باختيار كائنات n عشوائياً ، فإن المتغير العشوائي X الذي يمثل عدد الكائنات التي تنتمي إلى K في تلك الانتخابات يكون له توزيع فائق هندسي للمعلمات N و n و k. وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي:

يمثل الرسم البياني التالي دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة لمعلمات التوزيع الهندسي الفائق.

تمارين حلها

التمرين الأول

لنفترض أن احتمال أنبوب الراديو (وضع في نوع معين من المعدات) لأكثر من 500 ساعة هو 0.2. إذا تم اختبار 20 أنبوبًا ، فما هو احتمال أن تعمل k بالضبط من هذه أكثر من 500 ساعة ، k = 0 ، 1.2 ، ... ، 20؟