نظرية ذات الحدين: مظاهرة وأمثلة

إن نظرية ذات الحدين هي معادلة تخبرنا بكيفية تطوير تعبير عن الشكل (a + b) n لبعض الأرقام الطبيعية n. الحدين ليس أكثر من مجموع عنصرين ، مثل (a + b). ويسمح لنا أيضًا أن نعرف لمدة محددة بواسطة akbn-k ما هو المعامل الذي يصاحبها.

تُنسب هذه النظرية بشكل عام إلى المخترع الإنجليزي والفيزيائي والرياضيات السير إسحاق نيوتن. ومع ذلك ، فقد تم العثور على العديد من السجلات التي تشير إلى أن وجودها في الشرق الأوسط كان معروفًا بالفعل ، حوالي عام 1000.

أرقام اندماجي

تخبرنا نظرية الحدين بما يلي:

في هذا التعبير ، a و b عبارة عن أرقام حقيقية و n رقم طبيعي.

قبل تقديم العرض التوضيحي ، دعونا نرى بعض المفاهيم الأساسية اللازمة.

يتم التعبير عن الرقم التوليفي أو توليفات n في k على النحو التالي:

يعبر هذا النموذج عن قيمة عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على عناصر k والتي يمكن اختيارها من مجموعة من العناصر n. يتم التعبير الجبري الخاص به بواسطة:

دعونا نرى مثالاً: لنفترض أن لدينا مجموعة من سبع كرات ، اثنتان منها حمراء والباقي زرقاء.

نريد أن نعرف عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيبها على التوالي. قد تكون إحدى الطرق هي وضع الأحمرين في الموضعين الأول والثاني ، وبقية الكرات في المواضع المتبقية.

على غرار الحالة السابقة ، يمكننا إعطاء الكرات الحمراء الموضعين الأول والأخير على التوالي ، واحتلال الكرات الأخرى بالكرات الزرقاء.

الآن ، هناك طريقة فعالة لحساب عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب الكرات في صف واحد وهي تستخدم الأرقام التوافقية. يمكننا أن نرى كل موقف كعنصر في المجموعة التالية:

بعد ذلك ، من الضروري فقط اختيار مجموعة فرعية من عنصرين ، يمثل فيه كل عنصر من هذه العناصر الموضع الذي ستشغله الكرات الحمراء. يمكننا أن نجعل هذا الاختيار وفقا للعلاقة التي قدمها:

بهذه الطريقة ، لدينا 21 طريقة لفرز هذه الكرات.

ستكون الفكرة العامة لهذا المثال مفيدة جدًا في عرض نظرية ذات الحدين. دعونا نلقي نظرة على حالة معينة: إذا كانت n = 4 ، فلدينا (a + b) 4 ، وهي ليست أكثر من:

عندما نقوم بتطوير هذا المنتج ، لدينا مجموع المصطلحات التي تم الحصول عليها عن طريق ضرب عنصر من كل من العوامل الأربعة (أ + ب). وبالتالي ، سيكون لدينا المصطلحات التي ستكون من النموذج:

إذا كنا نرغب في الحصول على مصطلح النموذج a4 ، فهذا يكفي للتكاثر بالطريقة التالية:

لاحظ أن هناك طريقة واحدة فقط للحصول على هذا العنصر ؛ ولكن ، ماذا يحدث إذا بحثنا الآن عن مدة النموذج a2b2؟ نظرًا لأن "a" و "b" يمثلان أرقامًا حقيقية ، وبالتالي ، فإن القانون المبدئي صالح ، يتعين علينا الحصول على طريقة للحصول على هذا المصطلح وهو الضرب مع الأعضاء كما هو موضح بواسطة الأسهم.

عادةً ما يكون أداء كل هذه العمليات مملاً إلى حد ما ، ولكن إذا رأينا أن المصطلح "أ" هو مزيج حيث نريد أن نعرف عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار اثنين من "أ" من مجموعة من أربعة عوامل ، يمكننا استخدام فكرة المثال السابق. لذلك ، لدينا ما يلي:

وبالتالي ، نحن نعلم أنه في التطوير النهائي للتعبير (a + b) 4 ، سيكون لدينا 6a2b2 بالضبط. باستخدام نفس الفكرة للعناصر الأخرى ، عليك:

ثم نضيف التعبيرات التي تم الحصول عليها مسبقًا وعلينا:

إنه عرض رسمي للحالة العامة التي يكون فيها "n" أي عدد طبيعي.

عرض

لاحظ أن المصطلحات التي تبقى عند تطوير (a + b) n هي من النموذج akbn-k ، حيث k = 0،1 ، ... ، n. باستخدام فكرة المثال السابق ، لدينا طريقة لاختيار متغيرات «k» «a» لعوامل «n» هي:

عن طريق الاختيار بهذه الطريقة ، نختار تلقائيًا متغيرات nk «b». من هذا يتبع ذلك:

أمثلة

بالنظر إلى (أ + ب) 5 ، ماذا سيكون تطورها؟

من خلال نظرية ذات الحدين علينا:

إن نظرية ذات الحدين مفيدة للغاية إذا كان لدينا تعبير نريد أن نعرف فيه ما هو معامل مصطلح معين دون الاضطرار إلى أداء التنمية الكاملة. كمثال يمكننا أن نأخذ التخفي التالي: ما هو معامل x7y9 في تطوير (x + y) 16؟

من خلال نظرية ذات الحدين ، لدينا أن المعامل هو:

مثال آخر هو: ما هو معامل x5y8 في تطوير (3x-7y) 13؟

أولاً ، نعيد كتابة التعبير بطريقة مريحة. هذا هو:

ثم ، باستخدام نظرية ذات الحدين ، لدينا أن المعامل المطلوب هو عندما يكون لدينا k = 5

مثال آخر لاستخدامات هذه النظرية هو إظهار بعض الهويات الشائعة ، مثل تلك المذكورة أدناه.

الهوية 1

إذا كان "n" رقمًا طبيعيًا ، فيتعين علينا:

في العرض التوضيحي ، نستخدم نظرية ذات الحدين ، حيث تأخذ كل من "أ" و "ب" قيمة 1. ثم لدينا:

بهذه الطريقة أثبتنا الهوية الأولى.

الهوية 2

إذا كان "n" رقمًا طبيعيًا ، إذن

من خلال نظرية ذات الحدين علينا:

مظاهرة أخرى

يمكننا تقديم دليل مختلف على نظرية ذات الحدين باستخدام الطريقة الاستقرائية وهوية pascal ، والتي تخبرنا أنه إذا كانت "n" و "k" عبارة عن أعداد صحيحة موجبة تتوافق مع n ≥ ، إذن:

مظاهرة عن طريق الاستقراء

أولاً دعنا نرى أن الأساس الاستقرائي قد تحقق. إذا كانت n = 1 ، يتعين علينا:

على نحو فعال ، نرى أنه تم الوفاء به. الآن ، دع n = j بحيث يتحقق:

نريد أن نرى أنه بالنسبة إلى n = j + 1 ، يتم الوفاء بما يلي:

لذلك ، علينا أن:

من خلال فرضية نعلم أن:

ثم ، باستخدام خاصية التوزيع:

بعد ذلك ، قمنا بتطوير كل من الملخصات التي لدينا:

الآن ، إذا جمعنا معًا بطريقة مريحة ، فعلينا:

باستخدام هوية باسكال ، علينا:

أخيرًا ، لاحظ أن:

لذلك ، نرى أن نظرية ذات الحدين تتحقق لكل "n" تنتمي إلى العدد الطبيعي ، وبهذا ينتهي الاختبار.

الفضول

يُطلق أيضًا على الرقم التوافقي (nk) معامل ذي الحدين لأنه بالتحديد المعامل الذي يظهر في تطور ذي الحدين (a + b) n.

أعطى إسحاق نيوتن تعميمًا لهذه النظرية للقضية التي يكون فيها الأس عددًا حقيقيًا ؛ تُعرف هذه النظرية باسم نظرية نيوتن ذات الحدين.

بالفعل في العصور القديمة كانت هذه النتيجة معروفة للحالة المعينة التي فيها n = 2. هذه الحالة مذكورة في عناصر إقليدس.