الشعبة الاصطناعية: الطريقة والتمارين التي تم حلها

القسمة التركيبية هي طريقة بسيطة لتقسيم متعدد الحدود P (x) على أي شكل من الأشكال d (x) = x - c. إنها أداة مفيدة للغاية لأنه ، بالإضافة إلى السماح لنا بتقسيم كثير الحدود ، فإنه يسمح لنا أيضًا بتقييم متعدد الحدود P (x) في أي رقم c ، والذي بدوره يخبرنا على وجه التحديد إذا كان هذا الرقم هو صفر أم لا من متعدد الحدود.

بفضل خوارزمية القسمة ، نعلم أنه إذا كان لدينا اثنين من كثيرات الحدود غير الثابتة P (x) و d (x) ، فهناك كثيرات الحدود الفريدة q (x) و r (x) بحيث P (x) = q (x) ) d (x) + r (x) ، حيث r (x) تساوي صفرًا أو أقل من q (x). تُعرف كثيرات الحدود هذه بالكمية الباقية والبقايا أو الباقي على التوالي.

في الحالات التي يكون فيها متعدد الحدود d (x) من النموذج x-c ، يعطينا التقسيم الصناعي طريقة قصيرة للعثور على من هم q (x) و r (x).

طريقة تقسيم الاصطناعية

دع P (x) = a n xn + a n-1 xn-1 + ... + a 1 x + a 0 متعدّد الحدود الذي نريد تقسيم yd (x) = xc المقسوم عليه. للتقسيم على طريقة التقسيم الصناعي ، نواصل ما يلي:

1- نكتب معاملات P (x) في الصف الأول. إذا لم تظهر أي قوة لـ X ، فإننا نضع الصفر كمعامل لها.

2- في الصف الثاني ، على يسار n نضع c ، ورسم خطوط التقسيم كما هو موضح في الشكل التالي:

3- نخفض المعامل الرائدة إلى الصف الثالث.

في هذا التعبير b n-1 = a n

4- نضرب c بالمعامل الأول b n-1 والنتيجة مكتوبة في الصف الثاني ، لكن عمود إلى اليمين.

5- نضيف العمود حيث كتبنا النتيجة السابقة والنتيجة التي وضعناها تحت هذا المبلغ ؛ هذا هو ، في نفس العمود ، الصف الثالث.

عند الإضافة ، لدينا نتيجة لذلك n-1 + c * b n-1 ، والتي للراحة سوف نسميها b n-2

6- نضرب c بالنتيجة السابقة ونكتب النتيجة على يمينها في الصف الثاني.

7- نكرر الخطوتين 5 و 6 حتى نصل إلى المعامل عند 0 .

8- اكتب الجواب وهذا هو ، حاصل البقايا والبقايا. أثناء قيامنا بتقسيم كثير الحدود من الدرجة n بين متعدد الحدود من الدرجة 1 ، لدينا حاصل خطير على الدرجة n-1.

ستكون معامِلات الحدود القصوى لعدد الأرقام في الصف الثالث باستثناء الصف الأخير ، والتي ستكون كثيرة الحدود المتبقية أو المتبقية من القسمة.

تمارين حلها

مثال 1

نفذ القسمة التالية بطريقة التقسيم الاصطناعية:

(x5 + 3x4-7x3 + 2x2-8x + 1): (x + 1).

حل

أولاً نكتب معاملات الأرباح كما يلي:

ثم نكتب c على الجانب الأيسر ، في الصف الثاني ، مع خطوط التقسيم. في هذا المثال ج = -1.

نخفض المعامل الرائدة (في هذه الحالة b n-1 = 1) وضربها في -1:

نكتب نتيجتك إلى اليمين في الصف الثاني ، كما هو موضح أدناه:

نضيف الأرقام في العمود الثاني:

نقوم بضرب 2 ب -1 وكتابة النتيجة في العمود الثالث ، الصف الثاني:

نضيف في العمود الثالث:

نمضي بشكل مماثل حتى نصل إلى العمود الأخير:

وبالتالي ، لدينا أن الرقم الأخير الذي تم الحصول عليه هو بقية القسمة ، والأرقام المتبقية هي معاملات كثير الحدود. هذا مكتوب على النحو التالي:

إذا كنا نريد التحقق من أن النتيجة صحيحة ، فهذا يكفي للتحقق من استيفاء المعادلة التالية:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

بهذه الطريقة يمكننا التحقق من صحة النتيجة التي تم الحصول عليها.

مثال 2

أداء التقسيم المقبل من كثيرات الحدود من خلال طريقة تقسيم الاصطناعية

(7 × 3 × 2): (× + 2)

حل

في هذه الحالة ، لا يظهر المصطلح x2 ، لذلك سنكتب 0 كمعامل. وهكذا ، فإن كثير الحدود ستبقى 7x3 + 0x2-x + 2.

نكتب معاملاتهم على التوالي ، وهذا هو:

نكتب قيمة C = -2 على الجانب الأيسر في الصف الثاني ونرسم خطوط القسمة.

نحن نخفض المعامل الرائدة b n-1 = 7 ونضربها في -2 ، وكتابة نتيجتها في الصف الثاني إلى اليمين.

نضيف ونواصل كما هو موضح سابقًا ، حتى نصل إلى الفصل الأخير:

في هذه الحالة ، يكون الباقي هو r (x) = - 52 ويكون الحاصل الناتج هو q (x) = 7x2-14x + 27.

مثال 3

هناك طريقة أخرى لاستخدام القسمة الاصطناعية وهي كما يلي: لنفترض أن لدينا P (x) متعددة الحدود من الدرجة n ونريد أن نعرف ما هي القيمة عند تقييمها في x = c.

من خلال خوارزمية التقسيم ، يمكننا كتابة كثير الحدود P (x) بالطريقة التالية:

في التعبير المذكور q (x) و r (x) هما الحاصل الباقي والباقي على التوالي. الآن ، إذا كانت d (x) = x- c ، عند التقييم في c في كثير الحدود ، نجد ما يلي:

لهذا السبب علينا فقط إيجاد ar (x) ، وهذا يمكننا القيام به بفضل الانقسام الصناعي.

على سبيل المثال ، لدينا كثير الحدود P (x) = x7-9x6 + 19x5 + 12x4-3x3 + 19x2-37x-37 ونريد أن نعرف ما هي قيمته عند تقييمه في x = 5. لهذا نقوم بتنفيذ التقسيم بين P (x) yd (x) = x -5 بطريقة التقسيم الصناعي:

بمجرد الانتهاء من العمليات ، نعلم أنه يمكننا كتابة P (x) بالطريقة التالية:

P (x) = (x6-4x5 -x4 + 7x3 + 32x2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253

لذلك ، عند تقييمه ، يجب علينا:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

كما نرى ، من الممكن استخدام التقسيم الصناعي للعثور على قيمة كثير الحدود عند تقييمه في c بدلاً من استبدال c بـ x.

إذا حاولنا تقييم P (5) بالطريقة التقليدية ، فسيتعين علينا إجراء بعض الحسابات التي تميل إلى أن تصبح مملة.

مثال 4

يتم أيضًا تنفيذ خوارزمية تقسيم الحدود متعددة الحدود بالنسبة للعديد الحدود مع المعاملات المعقدة ، ونتيجة لذلك ، لدينا طريقة تقسيم الاصطناعية تعمل أيضًا مع الحدود متعددة الحدود المذكورة. التالي سنرى مثالا.

سنستخدم طريقة القسمة الاصطناعية لإظهار أن z = 1+ 2i هي صفر من كثير الحدود P (x) = x3 + (1 + i) x2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i) ؛ أي أن باقي القسمة P (x) بين d (x) = x - z تساوي الصفر.

نمضي كما كان من قبل: في الصف الأول نكتب معاملات P (x) ، ثم في الثاني نكتب z ونرسم خطوط التقسيم.

حققنا الانقسام كما كان من قبل. هذا هو:

يمكننا أن نرى أن البقايا هي صفر. لذلك ، نستنتج أن ، z = 1 + 2i هي صفر من P (x).