Homothety: خصائص وأنواع وأمثلة

homothety هو تغيير هندسي في المستوى حيث ، من نقطة ثابتة تسمى المركز (O) ، يتم ضرب المسافات بعامل مشترك. وبهذه الطريقة ، تتوافق كل نقطة P مع منتج نقطة P آخر للتحول ، ويتم محاذاتها مع النقطة O.

ثم ، homothety هي المراسلات بين اثنين من الأشكال الهندسية ، حيث تسمى النقاط المحولة homothetic ، وهذه تتوافق مع نقطة ثابتة ومع شرائح موازية لبعضها البعض.

homotecia

التماثل المتماثل هو تحول لا يحتوي على صورة متطابقة ، لأنه من الشكل سيتم الحصول على شكل واحد أو أكثر من الأشكال بحجم أكبر أو أصغر من الرقم الأصلي ؛ وهذا يعني ، أن homothety يحول المضلع إلى واحد آخر مماثل.

لكي يتم تحقيق homothety ، يجب أن تتوافق من نقطة إلى أخرى ومن مباشرة إلى مباشرة ، بحيث تتم محاذاة أزواج النقاط المتماثلة مع نقطة ثابتة ثالثة ، وهي مركز homothety.

وبالمثل ، يجب أن تكون أزواج الخطوط التي تربطهم متوازية. العلاقة بين هذه القطاعات هي ثابت يسمى نسبة homothety (ك) ؛ بطريقة يمكن تعريف homothety على النحو التالي:

لجعل هذا النوع من التحول نبدأ باختيار نقطة تعسفية ، والتي ستكون مركز التماثل.

من هذه النقطة ، يتم رسم مقاطع الخطوط لكل قمة من الشكل المراد تحويله. يتم إعطاء المقياس الذي يتم فيه إعادة إنتاج الشكل الجديد بواسطة نسبة homothety (k).

خصائص

واحدة من الخصائص الرئيسية لل homothety هو ، لسبب homothety (ك) ، جميع الشخصيات متماثلة مماثلة. من بين الخصائص الأخرى المعلقة ما يلي:

- مركز homothety (O) هو نقطة مزدوجة فقط وهذا يصبح نفسه ؛ وهذا هو ، فإنه لا يختلف.

- الخطوط التي تمر عبر الوسط تحول نفسها (وهي مزدوجة) ، لكن النقاط التي تشكلها ليست مزدوجة.

- يتم تحويل الخطوط التي لا تمر عبر الوسط إلى خطوط متوازية ؛ وبهذه الطريقة ، تبقى زوايا homothety كما هي.

- صورة قطعة من homothety من المركز O والنسبة k ، هي قطعة موازية لها ولها k أضعاف طولها. على سبيل المثال ، كما هو موضح في الصورة التالية ، سينتج عن المقطع AB بالتجانس في جزء آخر A'B ، بحيث تكون AB موازية لـ A'B وستكون k:

- الزوايا المتجانسة متطابقة ؛ وهذا هو ، لديهم نفس التدبير. لذلك ، فإن صورة الزاوية هي زاوية لها نفس السعة.

من ناحية أخرى ، فإن homothety يختلف تبعا لقيمة نسبته (ك) ، وقد تحدث الحالات التالية:

- إذا كان الثابت k = 1 ، يتم إصلاح جميع النقاط لأنها تحول نفسها. وهكذا ، يتزامن الشكل التماثلي مع الأصل وسيطلق على التحول وظيفة الهوية.

- إذا كانت k ≠ 1 ، فإن النقطة الثابتة الوحيدة ستكون مركز التماثل (O).

- إذا كانت k = -1 ، يصبح التماثل متماثلًا مركزيًا (C) ؛ وهذا يعني أن دوران حول C سيحدث بزاوية 180o.

- إذا كانت k> 1 ، فسيكون حجم الشكل المحول أكبر من حجم الأصل.

- إذا كانت 0 <k <1 ، فسيكون حجم الشكل المحول أصغر من الحجم الأصلي.

- إذا كانت -1 <k <0 ، فسيكون حجم الشكل المحول أصغر وسيتم تدويره بالنسبة إلى الأصل.

- إذا كانت k <-1 ، فسيكون حجم الشكل المحول أكبر وتدويرًا بالنسبة إلى الأصل.

نوع

يمكن تصنيف homothety أيضًا إلى نوعين ، اعتمادًا على قيمة نسبته (k):

homothety المباشر

يحدث ذلك إذا كان الثابت k> 0 ؛ أي أن نقاط التماثل هي في نفس الجانب فيما يتعلق بالمركز:

عامل التناسب أو نسبة التشابه بين الأشكال التماثلية المباشرة سيكون دائمًا إيجابيًا.

عكس متجانس

يحدث ذلك إذا كان الثابت k <0 ؛ بمعنى أن النقاط الأولية ونقاطها المتجانسة تقع في الطرف المقابل فيما يتعلق بوسط التماثل ولكن محاذاة له. سيكون المركز بين الرقمين:

عامل التناسب أو نسبة التشابه بين الأشكال العكسية المتجانسة سيكون دائمًا سالبًا.

تركيب

عندما يتم إجراء العديد من الحركات على التوالي حتى الحصول على رقم يساوي الأصلي ، يحدث تكوين الحركات. تكوين العديد من الحركات هي أيضا حركة.

التكوين بين اثنين homothecias يؤدي إلى homothecia جديدة. وهذا يعني أن لدينا منتجًا متجانسًا ، حيث يتم محاذاة المركز مع مركز التحولات الأصلية ، وتكون النسبة (ك) هي ناتج السببين.

وبالتالي ، في تكوين اثنين من التماثلات H ₁ (O ₁ ، k ₁ ) و H ₂ (O ₂ ، k ₂ ) ، فإن مضاعفة نسبهم: k ₁ x k ₂ = 1 سينتج عنه تماثل متماثل للنسبة k ₃ = ك ₁ × ك ₂ يقع مركز homothety الجديد (O ₃ ) هذا على الخط O ₁ O ₂ .

homothety يتوافق مع تغيير مسطح لا رجعة فيه. إذا تم تطبيق اثنين من التماثلات التي لها نفس المركز والنسبة ولكن مع علامة مختلفة ، سيتم الحصول على الرقم الأصلي.