مبدأ التكاثر: أساليب العد والأمثلة
مبدأ المضاعف هو أسلوب يستخدم لحل مشاكل الفرز لإيجاد الحل دون الحاجة إلى سرد عناصره. ومن المعروف أيضا باسم المبدأ الأساسي للتحليل التوافقي. يعتمد على الضرب المتتالي لتحديد الطريقة التي يمكن أن يحدث بها الحدث.
ينص هذا المبدأ على أنه إذا كان يمكن اتخاذ قرار (د 1 ) بطرق نون ويمكن اتخاذ قرار آخر (د 2 ) بطرق متعددة ، فسيكون العدد الإجمالي للطرق التي يمكن بها اتخاذ القرارات د 1 و د 2 مساوياً لمضاعفة من ن * م. وفقًا للمبدأ ، يتم اتخاذ كل قرار واحدًا تلو الآخر: عدد الطرق = N 1 * N 2 ... * N x طرق.
أمثلة
مثال 1
تخطط باولا للذهاب إلى السينما مع صديقاتها ، واختيار الملابس التي سترتديها ، أفصل 3 بلوزات وتنانير. كيف العديد من الطرق يمكن لبولا اللباس؟
حل
في هذه الحالة ، يجب على Paula اتخاذ قرارين:
د 1 = اختر بين 3 بلوزات = ن
د 2 = اختر بين 2 تنورة = م
وبهذه الطريقة ، تتخذ بولا قرارات * أو طرق مختلفة لارتداء الملابس.
ن * م = 3 * 2 = 6 قرارات.
يأتي مبدأ المضاعف من تقنية مخطط الشجرة ، وهو مخطط يربط جميع النتائج المحتملة ، بحيث يمكن أن يحدث كل منها عددًا محدودًا من المرات.
مثال 2
كان ماريو متعطشًا للغاية ، لذلك ذهب إلى المخبز لشراء عصير. لويس يجيب عليه ويخبره أن لديه حجمين: كبيرًا وصغيرًا ؛ وأربعة نكهات: التفاح والبرتقال والليمون والعنب. كم من الطرق يمكن لماريو اختيار العصير؟
حل
في الرسم البياني ، يمكن ملاحظة أن ماريو لديه 8 طرق مختلفة لاختيار العصير ، وكما في مبدأ التكاثر ، يتم الحصول على هذه النتيجة عن طريق ضرب n * m. الفرق الوحيد هو أنه من خلال هذا المخطط ، يمكنك معرفة كيف هي الطرق التي يختار ماريو العصير.
من ناحية أخرى ، عندما يكون عدد النتائج المحتملة كبيرًا جدًا ، يكون استخدام مبدأ التعدد أكثر عملية.
تقنيات العد
تقنيات العد هي طرق تستخدم لإجراء عملية حسابية مباشرة ، وبالتالي معرفة عدد الترتيبات المحتملة التي يمكن أن تحتوي عليها عناصر مجموعة معينة. تستند هذه التقنيات إلى عدة مبادئ:
مبدأ الجمع
ينص هذا المبدأ على أنه في حالة تعذر حدوث حدثين m و n في نفس الوقت ، فإن عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها الحدث الأول أو الثاني سيكون مجموع m + n:
عدد الأشكال = m + n ... + x أشكال مختلفة.
مثال
يريد أنطونيو القيام برحلة ، لكنه لا يقرر أي وجهة ؛ في وكالة ساوث للسياحة ، يقدمون لك عرضًا ترويجيًا للسفر إلى نيويورك أو لاس فيجاس ، بينما توصي وكالة السياحة الشرقية بالسفر إلى فرنسا أو إيطاليا أو إسبانيا. كم عدد بدائل السفر المختلفة التي يقدمها لك أنطونيو؟
حل
مع وكالة السياحة الجنوبية ، يوجد في أنطونيو خياران (نيويورك أو لاس فيجاس) ، بينما لدى وكالة السياحة الشرقية 3 خيارات (فرنسا أو إيطاليا أو إسبانيا). عدد البدائل المختلفة هو:
عدد البدائل = م + ن = 2 + 3 = 5 بدائل.
مبدأ التقليب
يتعلق الأمر بشكل خاص بكل العناصر التي تشكل مجموعة أو بعضها ، لتسهيل حساب جميع الترتيبات الممكنة التي يمكن إجراؤها مع العناصر.
يمثل عدد التباديل لعناصر مختلفة ، تؤخذ كلها مرة واحدة ، على النحو التالي:
ن ف ن = ن!
مثال
يريد أربعة أصدقاء التقاط صورة ويريدون معرفة عدد الأشكال المختلفة التي يمكن طلبها.
حل
كنت تريد أن تعرف مجموعة من جميع الطرق الممكنة التي يمكن أن توضع 4 أشخاص لالتقاط الصورة. لذلك ، عليك:
4 ف 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 أشكال مختلفة.
إذا أخذ عدد التباديل للعناصر المتاحة بأجزاء من مجموعة مكونة من عناصر r ، فيتم تمثيلها على النحو التالي:
ن ف ص = ن! n (ن - ص)!
مثال
في غرفة الصف هناك 10 وظائف. إذا حضر 4 طلاب الفصل ، فكم عدد الطرق المختلفة التي يمكن للطلاب من خلالها شغل المناصب؟
حل
إجمالي عدد مجموعة الكراسي هو 10 ، وسيتم استخدام هذه فقط 4. يتم تطبيق الصيغة المحددة لتحديد عدد التباديل:
ن ف ص = ن! n (ن - ص)!
10 ف 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 ف 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 طرق لملء المراكز.
هناك حالات تتكرر فيها بعض العناصر المتاحة للمجموعة (هي نفسها). لحساب عدد الترتيبات التي تأخذ كل العناصر دفعة واحدة ، يتم استخدام الصيغة التالية:
ن ف ص = ن! ÷ ن 1 ! * ن 2 ! ... ن ص !
مثال
كم من الكلمات المختلفة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة "الذئب"؟
حل
في هذه الحالة لدينا 4 عناصر (رسائل) ، اثنان منهم متشابهان تمامًا. بتطبيق الصيغة المحددة ، نعرف عدد الكلمات المختلفة:
ن ف ص = ن! ÷ ن 1 ! * ن 2 ! ... ن ص !
4 ف 2 ، 1،1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2 ، 1 ، 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2 ، 1 ، 1 = 24 ÷ 2 = 12 كلمة مختلفة.
مبدأ الجمع
إنه يتعلق بإصلاح كل أو بعض العناصر التي تشكل مجموعة بدون ترتيب محدد. على سبيل المثال ، إذا كان لديك صفيف XYZ ، فسيكون مطابقًا لصفيفات ZXY و YZX و ZYX وغيرها ؛ هذا لأنه على الرغم من عدم وجوده في نفس الترتيب ، فإن عناصر كل ترتيب هي نفسها.
عند أخذ بعض العناصر (ص) من المجموعة (ن) ، يتم إعطاء مبدأ الجمع بالصيغة التالية:
ن ج ص = ن! ÷ (n - r)! R!
مثال
في المتجر يبيعون 5 أنواع مختلفة من الشوكولاته. كم من الطرق المختلفة يمكنك اختيار 4 شوكولاتة؟
حل
في هذه الحالة ، يجب عليك اختيار 4 أنواع من الشوكولاتة من الأنواع الخمسة التي تباع في المتجر. لا يهم الترتيب الذي يتم اختيارهم فيه ، وبالإضافة إلى ذلك ، يمكن اختيار نوع من الشوكولاتة أكثر من مرتين. عند تطبيق المعادلة ، يجب عليك:
ن ج ص = ن! ÷ (n - r)! R!
5 ج 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 ج 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 طرق مختلفة لاختيار 4 شوكولاتة.
عندما تؤخذ جميع العناصر (ص) من المجموعة (ن) ، يتم إعطاء مبدأ الجمع بالصيغة التالية:
ن ج ن = ن!
تمارين حلها
التمرين 1
لديك فريق بيسبول يضم 14 عضوًا. في كم عدد الطرق التي يمكن بها تخصيص 5 وظائف للعبة؟
حل
تتكون المجموعة من 14 عنصرًا وترغب في تعيين 5 وظائف محددة ؛ وهذا هو ، هذا الأمر يهم. يتم تطبيق صيغة التقليب حيث يتم أخذ العناصر المتاحة بأجزاء من مجموعة مكونة بواسطة r.
ن ف ص = ن! n (ن - ص)!
حيث n = 14 و r = 5. يتم استبدالها في الصيغة:
14 ف 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 ف 5 = 14! ÷ (9)!
14 ف 5 = 240 240 طرق لتعيين 9 مواقع للعبة.
التمرين 2
إذا ذهبت عائلة مكونة من 9 أفراد في رحلة واشتريت تذاكرهم بمقاعد متتالية ، فكم من الطرق المختلفة يمكنهم الجلوس؟
حل
يتكون من 9 عناصر ستشغل 9 مقاعد متتالية.
ف 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 طرق مختلفة للجلوس.
