13 فئات من مجموعات وأمثلة

يمكن تصنيف فئات المجموعات على أنها متساوية ، أو محدودة ، أو غير محدودة ، أو فرعية ، أو فارغة ، أو مفككة ، أو متقطعة ، أو معادلة ، أو وحدوية ، أو متراكبة أو متداخلة ، أو متطابقة ، أو غير متطابقة ، من بين أشياء أخرى.

المجموعة عبارة عن مجموعة من الكائنات ، لكن المصطلحات والرموز الجديدة ضرورية لتكون قادرًا على التحدث بشكل معقول عن المجموعات.

في اللغة العادية ، يتم إعطاء معنى للعالم الذي نعيش فيه لتصنيف الأشياء. الإسبانية لديها العديد من الكلمات لهذه المجموعات. على سبيل المثال ، "قطيع من الطيور" و "قطيع من الماشية" و "سرب من النحل" و "مستعمرة النمل".

في الرياضيات يتم إجراء شيء مشابه عند تصنيف الأرقام والأشكال الهندسية وغيرها. تسمى كائنات هذه المجموعات عناصر المجموعة.

وصف مجموعة

يمكن وصف المجموعة من خلال سرد جميع عناصرها. على سبيل المثال ،

S = {1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9}.

"S هي المجموعة التي تكون عناصرها 1 و 3 و 5 و 7 و 9". يتم فصل العناصر الخمسة للمجموعة بفواصل ويتم إدراجها في الأقواس.

يمكن أيضًا تعيين مجموعة من خلال تقديم تعريف لعناصرها بين قوسين. وبالتالي ، يمكن أيضًا كتابة المجموعة S أعلاه على النحو التالي:

S = {عدد صحيح أقل من 10}.

يجب أن تكون المجموعة محددة جيدًا. هذا يعني أن وصف عناصر المجموعة يجب أن يكون واضحًا ولا لبس فيه. على سبيل المثال ، {طويل القامة} ليس مجموعة ، لأن الناس يميلون إلى عدم الاتفاق مع ما تعنيه كلمة "عالية". مثال على مجموعة محددة جيدا هو

T = {الحروف الأبجدية}.

أنواع مجموعات

1- مجموعات متساوية

مجموعتين هي نفسها إذا كان لديهم بالضبط نفس العناصر.

على سبيل المثال:

إذا كانت A = {Vocals of the alphabet} و B = {a، e، i، o، u} يقال أن A = B.
من ناحية أخرى ، المجموعات {1 ، 3 ، 5} و {1 ، 2 ، 3} ليست هي نفسها ، لأنها تحتوي على عناصر مختلفة. هذا مكتوب كـ {1 ، 3 ، 5} ≠ {1 ، 2 ، 3}.
إن ترتيب كتابة العناصر داخل الأقواس لا يهم على الإطلاق. على سبيل المثال ، {1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9} = {3 ، 9 ، 7 ، 5 ، 1} = {5 ، 9 ، 1 ، 3 ، 7}.
إذا ظهر عنصر في القائمة أكثر من مرة ، فسيتم حسابه مرة واحدة فقط. على سبيل المثال ، {a، a، b} = {a، b}.

تحتوي المجموعة {a، a، b} على عنصرين فقط a و b. الإشارة الثانية إلى a هي تكرار غير ضروري ويمكن تجاهله. عادة ما يعتبر تدوينًا سيئًا عندما يتم سرد عنصر ما أكثر من مرة.

2 - مجموعات محدودة وغير محدودة

المجموعات المحدودة هي تلك التي يمكن فيها حساب أو إدراج جميع عناصر المجموعة. فيما يلي مثالان:

{الأعداد الصحيحة بين 2000 و 2،005} = {2،001 ، 2،002 ، 2،003 ، 2،004}
{الأعداد الصحيحة بين 2000 و 3،000} = {2،001 ، 2،002 ، 2،003 ، ... ، 2،999}

تمثل النقاط الثلاث "..." في المثال الثاني الأرقام 995 الأخرى في المجموعة. يمكن إدراج جميع العناصر ، ولكن لتوفير مساحة ، تم استخدام النقاط بدلاً من ذلك. لا يمكن استخدام هذا الرمز إلا إذا كان واضحًا تمامًا ما يعنيه ، كما هو الحال في هذا الموقف.

يمكن أن تكون المجموعة غير محدودة - الشيء الوحيد المهم هو أنها محددة جيدًا. فيما يلي مثالان على مجموعات غير محدودة:

{الأرقام الصحيحة والأعداد الصحيحة أكبر من أو تساوي اثنين} = {2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، ...}
{الأعداد الصحيحة أكبر من 2000} = {2،001 ، 2،002 ، 2،003 ، 2،004 ، ...}

كلا المجموعتين لا حصر لهما ، لأنه بغض النظر عن عدد العناصر التي تحاول تعدادها ، هناك دائمًا المزيد من العناصر في المجموعة التي لا يمكن سردها ، بغض النظر عن المدة التي جربتها. هذه المرة يكون للكلمة "..." معنى مختلف قليلاً ، لأنها تمثل العديد من العناصر غير المدرجة.

3 - مجموعات فرعية

المجموعة الفرعية جزء من مجموعة.

مثال: البوم هي نوع معين من الطيور ، لذلك كل بومة هي أيضا الطيور. في لغة المجموعات ، يتم التعبير عن ذلك بالقول إن مجموعة البوم هي مجموعة فرعية من مجموعة الطيور.

تسمى المجموعة S مجموعة فرعية من مجموعة أخرى T ، إذا كان كل عنصر من عناصر S هو عنصر T. يتم كتابة هذا كـ:

S ⊂ T (اقرأ "S عبارة عن مجموعة فرعية من T")

الرمز الجديد يعني "إنه مجموعة فرعية من". لذلك {البوم} birds {الطيور} لأن كل بومة طائر.

إذا كانت A = {2 ، 4 ، 6} و B = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} ، ثم A ⊂ B ،

لأن كل عنصر من عناصر A هو عنصر B.

الرمز 'يعني "ليس مجموعة فرعية".

هذا يعني أن عنصرًا واحدًا على الأقل من عناصر S ليس عنصر T. على سبيل المثال:

{الطيور} ⊄ {المخلوقات الطائرة}

لأن النعام طائر ، لكنه لا يطير.

إذا كانت A = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4} و B = {2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} ، ثم A ⊄

لأن 0 ∈ A ، ولكن 0 ∉ B ، فإنه يقرأ "0 ينتمي إلى مجموعة A" ، ولكن "0 لا ينتمي إلى المجموعة B".

4- مجموعة فارغة

يمثل الرمز Ø المجموعة الفارغة ، وهي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر على الإطلاق. لا شيء في الكون بأكمله هو عنصر Ø:

| Ø | = 0 و X ∉ ، لا يهم ما يمكن أن يكون X.

هناك مجموعة فارغة واحدة فقط ، لأن مجموعتين فارغتين لهما نفس العناصر تمامًا ، لذلك يجب أن يكونا متساويين مع بعضهما البعض.

5. مجموعات مفككة أو مفككة

تسمى مجموعتان disjoint إذا لم يكن لديك عناصر مشتركة. على سبيل المثال:

المجموعات S = {2 ، 4 ، 6 ، 8} و T = {1 ، 3 ، 5 ، 7} غير متصلة.

6- مجموعات مكافئة

يُقال إن A و B متساويان إذا كان لديهم نفس عدد العناصر التي تشكلها ، أي أن العدد الأساسي للمجموعة A يساوي العدد الأصلي للمجموعة B ، n (A) = n (B). الرمز للدلالة على مجموعة مكافئة هو "↔".

على سبيل المثال:
A = {1 ، 2 ، 3} ، لذلك ، n (A) = 3
B = {p ، q ، r} ، لذلك ، n (B) = 3
لذلك ، أ ↔ ب

7- مجموعات وحدوية

إنها مجموعة تحتوي على عنصر واحد بالضبط فيه. بمعنى آخر ، هناك عنصر واحد فقط يتكون من الكل.

على سبيل المثال:

S = {a}
دع B = {هو رقم أولي حتى}

لذلك ، B هي مجموعة وحدوية لأنه يوجد فقط عدد أولي متساوي ، أي 2.

8- مجموعة عالمية أو مرجعية

المجموعة العالمية هي مجموعة من جميع الكائنات في سياق معين أو نظرية معينة. جميع المجموعات الأخرى في هذا الإطار تشكل مجموعات فرعية من المجموعة العالمية ، والتي تسمى بالحرف الكبير و U.

يعتمد التعريف الدقيق لـ U على السياق أو النظرية قيد الدراسة. على سبيل المثال:

يمكنك تعريف U كمجموعة من الكائنات الحية على كوكب الأرض. في هذه الحالة ، فإن مجموعة جميع الماكرات هي مجموعة فرعية من U ، ومجموعة من جميع الأسماك هي مجموعة فرعية أخرى من U.
إذا عرفنا U على أنها مجموعة من جميع الحيوانات على كوكب الأرض ، فإن مجموعة جميع الماكرات هي مجموعة فرعية من U ، فإن مجموعة جميع الأسماك هي مجموعة فرعية أخرى من U ، لكن مجموعة الأشجار ليست مجموعة فرعية من U.