تصنيف الأعداد الحقيقية

ينقسم التصنيف الرئيسي للأرقام الحقيقية إلى أرقام طبيعية وأعداد كاملة وأرقام عقلانية وأرقام غير عقلانية. يتم تمثيل الأعداد الحقيقية بالحرف R.

هناك العديد من الطرق التي يمكن بها بناء أو وصف أرقام حقيقية مختلفة ، تتراوح من أبسط الأشكال إلى أشكال أكثر تعقيدًا ، اعتمادًا على العمل الرياضي الذي تريد القيام به.

كيف يتم تصنيف الأعداد الحقيقية؟

الأعداد الطبيعية

هذه هي الأرقام المستخدمة لحساب ، مثل "هناك أربعة أزهار في الزجاج".

تبدأ بعض التعريفات بالأرقام الطبيعية في 0 ، بينما تبدأ التعريفات الأخرى في 1. والأرقام الطبيعية هي تلك المستخدمة لحساب: 1،2،3،4،5،6،7،8،9،10 ... إلخ؛ يتم استخدامها كأرقام ترتيبية أو أساسية.

الأرقام الطبيعية هي الأسس التي يمكن بها إنشاء مجموعات أخرى عديدة من الأرقام عن طريق الامتداد: الأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية والأرقام الحقيقية والأعداد المركبة وغيرها.

تشكل سلاسل الامتداد هذه الأرقام الطبيعية المحددة بشكل قانوني في أنظمة الأرقام الأخرى.

تتم دراسة خصائص الأعداد الطبيعية ، مثل القسمة وتوزيع الأعداد الأولية ، في نظرية الأعداد.

تتم دراسة المشكلات المتعلقة بالعد والترتيب ، مثل الأعداد والتقسيم ، في المواد التوافقية.

في اللغة العامة ، كما هو الحال في المدارس الابتدائية ، يمكن استدعاء الأرقام الطبيعية كأرقام قابلة للعد لاستبعاد الأعداد الصحيحة السالبة والصفر.

لديهم العديد من الخصائص ، مثل: الجمع والضرب والطرح والقسمة ، إلخ.

أعداد كاملة

الأعداد الصحيحة هي تلك الأرقام التي يمكن كتابتها بدون مكون كسري. على سبيل المثال: 21 ، 4 ، 0 ، -76 ، إلخ. من ناحية أخرى ، فإن الأرقام مثل 8.58 أو √2 ليست أرقامًا كاملة.

يمكن القول أن الأعداد الصحيحة هي أرقام كاملة مع أرقام سالبة للأعداد الطبيعية. يتم استخدامها للتعبير عن الأموال المستحقة ، أعماق نسبة إلى مستوى سطح البحر أو درجة حرارة تحت الصفر ، على سبيل المثال لا الحصر.

تتكون مجموعة الأعداد الصحيحة من صفر (0) ، والأعداد الطبيعية الموجبة (1،2،3 ...) ، والأعداد الصحيحة السالبة (-1 ، -2 ، -3 ...). عموما هذا ما يسمى ب ZZ أو مع Z جريئة (Z).

Z هي مجموعة فرعية من مجموعة الأرقام المنطقية Q ، والتي بدورها تشكل مجموعة الأرقام الحقيقية R. مثل الأرقام الطبيعية ، Z هي مجموعة لا حصر لها.

تشكل الأعداد الصحيحة أصغر مجموعة وأصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية. في نظرية الأعداد الجبرية ، تسمى الأعداد الصحيحة في بعض الأحيان الأعداد الصحيحة غير المنطقية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية.

الأرقام المنطقية

الرقم الرشيد هو أي رقم يمكن التعبير عنه على أنه مكون أو جزء من عددين صحيحين p / q ، وبسط البسط وقاسم q. بما أن q يمكن أن تساوي 1 ، كل رقم صحيح هو رقم منطقي.

يتم تعيين مجموعة الأرقام المنطقية ، والتي يشار إليها غالبًا باسم "المبررات" ، بواسطة Q.

ينتهي التمدد العشري للرقم الرشيد دائمًا بعد عدد محدود من الأرقام أو عندما يتكرر نفس التسلسل المحدد للأرقام مرارًا وتكرارًا.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن أي رقم عشري متكرر أو عشري يمثل رقمًا منطقيًا. هذه العبارات صحيحة ليس فقط بالنسبة للقاعدة 10 ، ولكن أيضًا لأي قاعدة عدد صحيح أخرى.

يسمى العدد الحقيقي غير العقلاني بأنه غير عقلاني. تشمل الأرقام غير المنطقية √2 و a π و e ، على سبيل المثال. نظرًا لأن مجموعة الأرقام القابلة للإحصاء بأكملها قابلة للعد ، وأن مجموعة الأرقام الحقيقية غير قابلة للعد ، يمكن القول أن جميع الأرقام الحقيقية تقريبًا غير عقلانية.

يمكن تعريف الأرقام المنطقية رسميًا على أنها فئات معادلات أزواج الأعداد الصحيحة (p ، q) بحيث q ≠ 0 أو العلاقة المكافئة المحددة بواسطة (p1 ، q1) (p2 ، q2) فقط إذا كانت p1 ، q2 = p2q1.

الأرقام المنطقية ، بالإضافة إلى الضرب والضرب ، تشكل حقولًا تتكون من أعداد كاملة وتحتوى على أي فرع يحتوي على أعداد صحيحة.

أرقام غير عقلانية

الأرقام غير المنطقية كلها أرقام حقيقية ليست أرقامًا منطقية ؛ لا يمكن التعبير عن الأرقام غير المنطقية على أنها كسور. الأرقام المنطقية هي الأرقام المكونة من كسور الأعداد الصحيحة.

نتيجة لإثبات كانتور أن جميع الأعداد الحقيقية غير قابلة للحساب وأن الأعداد المنطقية قابلة للعد ، يمكن الاستنتاج أن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا غير عقلانية.

عندما يكون نصف قطر الطول لشريحتين خطيتين رقمًا غير منطقي ، يمكن القول أن مقاطع الخط هذه غير قابلة للاستبدال ؛ وهذا يعني أنه لا يوجد طول كافٍ بحيث يمكن "قياس" كل منهم باستخدام عدد صحيح متعدد معين منه.

من بين الأرقام غير المنطقية نصف قطر محيط الدائرة إلى قطرها ، وعدد Euler (e) ، والرقم الذهبي (φ) والجذر التربيعي لاثنين ؛ أكثر من ذلك ، كل الجذور التربيعية للأعداد الطبيعية غير عقلانية. الاستثناء الوحيد لهذه القاعدة هي المربعات المثالية.

يمكن ملاحظة أنه عندما يتم التعبير عن الأرقام غير المنطقية بشكل موضعي في نظام رقمي ، (كما هو الحال في الأرقام العشرية على سبيل المثال) فإنها لا تنتهي أو تتكرر.

هذا يعني أنها لا تحتوي على سلسلة من الأرقام ، التكرار الذي يتم من خلاله تكوين خط تمثيل.

على سبيل المثال: يبدأ التمثيل العشري للرقم 3 بـ 3.14159265358979 ، ولكن لا يوجد عدد محدد من الأرقام التي يمكن أن تمثل π تمامًا ، ولا يمكن تكرارها.

الدليل على أن التمديد العشري لعدد عقلاني يجب أن ينتهي أو يتكرر هو مختلف عن الدليل على أن التمديد العشري يجب أن يكون رقماً عقلانياً ؛ على الرغم من أنها أساسية وطويلة بعض الشيء ، إلا أن هذه الاختبارات تتطلب بعض العمل.

عادةً لا يأخذ علماء الرياضيات فكرة "الإنهاء أو التكرار" عمومًا لتحديد مفهوم العدد العقلاني.

يمكن أيضًا معالجة الأرقام غير المنطقية عبر الكسور غير المستمرة.