حساب التقريبية باستخدام التفاضلية

التقريب في الرياضيات هو رقم لا يمثل القيمة الدقيقة لشيء ما ، ولكنه قريب جدًا منه لدرجة أنه يعتبر مفيدًا مثل هذه القيمة الدقيقة.

عندما يتم إجراء تقريبية في الرياضيات ، يكون من الصعب (أو المستحيل في بعض الأحيان) معرفة القيمة الدقيقة لما هو مطلوب.

الأداة الرئيسية عند العمل مع التقريب هي الفرق بين الوظيفة.

لا يعد الفرق بين دالة f ، والمشار إليه بواسطة Δf (x) ، أكثر من مشتق الدالة f مضروب في التغيير في المتغير المستقل ، أي Δf (x) = f '(x) * Δx.

أحيانًا تستخدم df و dx بدلاً من Δf و Δx.

النهج باستخدام الفرق

تنشأ الصيغة التي يتم تطبيقها لإجراء تقريب خلال الفارق فقط من تعريف مشتق دالة كحد.

هذه الصيغة مقدمة بواسطة:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

من المفهوم هنا Δx = x-x0 ، لذلك ، x = x0 + Δx. باستخدام هذا يمكن إعادة صياغة الصيغة كـ

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

لاحظ أن "x0" ليست قيمة تعسفية ، ولكنها قيمة تُعرف f (x0) بسهولة ؛ بالإضافة إلى ذلك ، "f (x)" هي القيمة التي نريد تقريبها فقط.

هل هناك طرق أفضل؟

الجواب نعم. السابقة هي أبسط التقديرات المسماة «تقريب خطي».

من أجل تقريب أفضل للجودة (الخطأ أصغر) ، يتم استخدام كثيرات الحدود مع مزيد من المشتقات تسمى "Taylor Polynomials" ، وكذلك الطرق العددية الأخرى مثل طريقة Newton-Raphson وغيرها.

إستراتيجية

استراتيجية المتابعة هي:

- اختر دالة مناسبة f لتنفيذ التقريب والقيمة "x" بحيث تكون f (x) هي القيمة التي يجب تقريبها.

- اختر قيمة «x0» ، بالقرب من «x» ، بحيث يسهل حساب f (x0).

- احسب Δx = x-x0.

- احسب مشتق الوظيفة و f '(x0).

- استبدال البيانات في الصيغة.

تمارين تقريب حلها

في ما يحدث هناك سلسلة من التمارين حيث يتم إجراء تقريبية باستخدام الفرق.

التمرين الأول

تقريبا √3.

حل

باتباع الإستراتيجية ، يجب اختيار الوظيفة المناسبة. في هذه الحالة ، يمكن ملاحظة أن الوظيفة التي يجب اختيارها يجب أن تكون f (x) = √xy وأن القيمة التقريبية هي f (3) = √3.

الآن يجب علينا اختيار قيمة "x0" قريبة من "3" بحيث يسهل حساب f (x0). يعني اختيار "x0 = 2" أن "x0" قريبة من "3" ولكن f (x0) = f (2) = √2 ليس من السهل حسابها.

قيمة «x0» المناسبة هي «4» ، لأن «4» قريبة من «3» وأيضاً f (x0) = f (4) = √4 = 2.

إذا كان "x = 3" و "x0 = 4" ، ثم Δx = 3-4 = -1. ننتقل الآن إلى حساب مشتق f. أي ، f '(x) = 1/2 * √x ، بحيث f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

استبدال جميع القيم في الصيغة التي تحصل عليها:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

إذا تم استخدام الآلة الحاسبة ، فسيتم الحصول عليها بـ √3≈1.73205 ... وهذا يدل على أن النتيجة السابقة تقريبية جيدة للقيمة الحقيقية.

التمرين الثاني

تقريبا -10.

حل

كما كان من قبل ، نختار الدالة f (x) = √xy وفي هذه الحالة x = 10.

قيمة x0 التي يجب اختيارها في هذه الفرصة هي «x0 = 9». لدينا ثم Δx = 10-9 = 1 ، f (9) = 3 و f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

عند التقييم في الصيغة تحصل على ذلك

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

باستخدام آلة حاسبة ، تحصل على √10 ≈ 3.1622776 ... هنا يمكنك أيضًا أن ترى أنه تم الحصول على تقريب جيد من قبل.

التمرين الثالث

تقريبي ³√10 ، حيث تشير ³√ إلى جذر المكعب.

حل

من الواضح أن الوظيفة التي يجب استخدامها في هذا التمرين هي f (x) = ³√xy وقيمة «x» يجب أن تكون «10».

القيمة القريبة من "10" بحيث يعرف جذر المكعب الخاص بها هي "x0 = 8". ثم لدينا Δx = 10-8 = 2 و f (x0) = f (8) = 2. لدينا أيضًا f '(x) = 1/3 * ³√x² ، وبالتالي f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

استبدال البيانات في الصيغة ، يتم الحصول على ما يلي:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....

تقول الآلة الحاسبة أن ³√10 ≈ 2.15443469 ... لذلك ، فإن التقريب الموجود جيد.

التمرين الرابع

بالتقريب ln (1.3) ، حيث تشير «ln» إلى وظيفة اللوغاريتم الطبيعي.

حل

أولاً ، يتم اختيار الدالة f (x) = ln (x) وقيمة «x» هي 1.3. الآن ، ومع معرفة القليل عن الوظيفة اللوغاريتمية ، يمكننا أن نعرف أن ln (1) = 0 ، وكذلك «1» قريب من «1.3». لذلك ، نختار «x0 = 1» وهكذا Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

من ناحية أخرى f '(x) = 1 / x ، بحيث f' (1) = 1. عند التقييم في الصيغة المحددة ، يجب عليك:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

عند استخدام الآلة الحاسبة ، يتعين عليك أن تساوي (1.3) ≈ 0.262364 ... لذا فإن التقدير التقريبي جيد.