الرياضيات المنفصلة: ما يخدمونه ، نظرية المجموعات

تتوافق الرياضيات المنفصلة مع مجال من الرياضيات مسؤول عن دراسة مجموعة الأرقام الطبيعية ؛ بمعنى ، مجموعة الأرقام القابلة للعدود المحدودة وغير المحدودة حيث يمكن حساب العناصر بشكل منفصل ، واحدًا تلو الآخر.

تُعرف هذه المجموعات باسم مجموعات منفصلة ؛ مثال على هذه المجموعات هي الأعداد الكاملة أو الرسوم البيانية أو التعبيرات المنطقية ، ويتم تطبيقها في مجالات العلوم المختلفة ، وخاصة في الحوسبة أو الحوسبة.

وصف

في العمليات المنفصلة للرياضيات يمكن عدها ، بناءً على الأعداد الصحيحة. هذا يعني أنه لا يتم استخدام الأرقام العشرية ، وبالتالي ، لا يتم استخدام التقريب أو الحدود ، كما في المناطق الأخرى. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون المجهول واحدًا يساوي 5 أو 6 ، ولكن لا يمكن أبدًا أن يكون 4.99 أو 5.9.

من ناحية أخرى ، في التمثيل البياني ، ستكون المتغيرات منفصلة ويتم تقديمها من مجموعة محددة من النقاط ، يتم حسابها واحدة تلو الأخرى ، كما هو موضح في الصورة:

يولد الرياضيات المنفصلة بسبب الحاجة إلى الحصول على دراسة دقيقة يمكن دمجها واختبارها ، لتطبيقها في مجالات مختلفة.

ما هو استخدام الرياضيات المنفصلة؟

تستخدم الرياضيات المنفصلة في مجالات متعددة. من بين أهمها ما يلي:

اندماجي

دراسة مجموعات محدودة حيث يمكن طلب العناصر أو مجتمعة والعد.

نظرية التوزيع المنفصل

دراسة الأحداث التي تحدث في الأماكن التي يمكن فيها حصر العينات ، حيث يتم استخدام توزيعات مستمرة لتقريب التوزيعات المنفصلة ، أو في الاتجاه المعاكس.

نظرية المعلومات

يشير إلى تشفير المعلومات ، المستخدم لتصميم ونقل وتخزين البيانات ، مثل الإشارات التناظرية على سبيل المثال.

الحوسبة

من خلال حل مشاكل الرياضيات المنفصلة باستخدام الخوارزميات ، وكذلك دراسة ما يمكن حسابه والوقت المستغرق للقيام بذلك (التعقيد).

ازدادت أهمية الرياضيات المنفصلة في هذا المجال في العقود الأخيرة ، وخاصة لتطوير لغات البرمجة والبرمجيات .

التشفير

يعتمد على الرياضيات المنفصلة لإنشاء هياكل أمنية أو طرق تشفير. مثال على هذا التطبيق هو كلمات المرور التي ترسل بتات منفصلة تحتوي على معلومات.

من خلال الدراسة ، يمكن لخصائص الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية (نظرية الأعداد) أن تخلق أو تدمر طرق الأمان هذه.

منطق

يتم استخدام الهياكل المنفصلة ، والتي عادة ما تشكل مجموعة محدودة ، لإثبات النظريات أو ، على سبيل المثال ، التحقق من البرنامج.

نظرية الرسم البياني

يتيح حل المشكلات المنطقية ، باستخدام العقد والخطوط التي تشكل نوعًا من الرسم البياني ، كما هو موضح في الصورة التالية:

إنها منطقة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات المنفصلة لأن التعبيرات الجبرية منفصلة. من خلال هذا ، يتم تطوير الدوائر الإلكترونية والمعالجات والبرمجة (الجبر المنطقي) وقواعد البيانات (الجبر العلائقي).

علم الهندسة

دراسة الخصائص اندماجي من الكائنات الهندسية ، مثل طلاء الطائرة. من ناحية أخرى ، تتيح الهندسة الحاسوبية تطوير المشكلات الهندسية من خلال تطبيق الخوارزميات.

نظرية المجموعات

في مجموعات الرياضيات المنفصلة (عدد محدود وغير محدود) هي الهدف الرئيسي للدراسة. تم نشر نظرية المجموعات بواسطة جورج كانتور ، الذي أظهر أن جميع المجموعات اللانهائية لها نفس الحجم.

المجموعة هي مجموعة من العناصر (الأرقام ، الأشياء ، الحيوانات والأشخاص ، من بين أمور أخرى) محددة بشكل جيد ؛ أي أن هناك علاقة ينتمي بموجبها كل عنصر إلى مجموعة ، ويتم التعبير عنها ، على سبيل المثال ، إلى ∈ A.

في الرياضيات هناك مجموعات مختلفة تجمع أرقامًا معينة وفقًا لخصائصها. لذلك ، على سبيل المثال ، لديك:

- مجموعة من الأرقام الطبيعية N = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ... + ∞}.

- مجموعة من الأعداد الصحيحة E = {-∞ ... ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... + ∞}.

- مجموعة فرعية من الأرقام المنطقية Q * = {-∞ ... ، - ¼ ، - ½ ، 0 ، ¼ ، ½ ، ... ∞}.

- مجموعة من الأرقام الحقيقية R = {-∞ ... ، - ½ ، -1 ، 0 ، ½ ، 1 ، ... ∞}.

تتم تسمية المجموعات بأحرف الأبجدية ، كبيرة الحجم ؛ بينما يتم تسمية العناصر بأحرف صغيرة ، داخل الأقواس ({}) ومفصولة بفواصل (،). وعادة ما يتم تمثيلهم في الرسوم البيانية مثل Venn و Caroll ، وكذلك حسابيا.

مع العمليات الأساسية مثل الاتحاد والتقاطع والتكملة والفرق والمنتج الديكارتي ، تتم إدارة المجموعات وعناصرها ، بناءً على علاقة الانتماء.

هناك عدة أنواع من المجموعات ، أكثرها درسًا في الرياضيات المنفصلة هي:

مجموعة محدودة

هو واحد يحتوي على عدد محدد من العناصر والذي يتوافق مع عدد طبيعي. وبالتالي ، على سبيل المثال ، A = {1 ، 2 ، 3،4} عبارة عن مجموعة محدودة تحتوي على 4 عناصر.

مجموعة المحاسبة لانهائية

هو الذي يوجد فيه مراسلات بين عناصر مجموعة والأعداد الطبيعية ؛ بمعنى أنه من عنصر ما ، يمكن إدراج جميع عناصر المجموعة على التوالي.

بهذه الطريقة ، سيتوافق كل عنصر مع كل عنصر من عناصر مجموعة الأرقام الطبيعية. على سبيل المثال:

يمكن إدراج مجموعة الأعداد الصحيحة Z = {... -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ...} على أنها Z = {0 ، 1 ، -1 ، 2 ، -2 ...}. بهذه الطريقة ، يمكن إجراء مراسلات فردية بين عناصر Z والأرقام الطبيعية ، كما هو موضح في الصورة التالية:

إنها طريقة تستخدم لحل المشكلات المستمرة (النماذج والمعادلات) التي يجب تحويلها إلى مشاكل منفصلة ، والتي يعرف فيها الحل بتقريب حل المشكلة المستمرة.

على نحو آخر ، يحاول التفكيك استخراج كمية محدودة من مجموعة لا حصر لها من النقاط ؛ بهذه الطريقة ، يتم تحويل وحدة مستمرة إلى وحدات فردية.

بشكل عام ، تستخدم هذه الطريقة في التحليل العددي ، كما هو الحال في حل المعادلة التفاضلية ، عن طريق دالة ممثلة بكمية محدودة من البيانات في مجالها ، حتى عندما تكون مستمرة.

مثال آخر على التقدير هو استخدامه لتحويل إشارة تمثيلية إلى رقمية ، عندما يتم تحويل وحدات إشارة مستمرة إلى وحدات فردية (يتم تقديريها) ، ثم يتم ترميزها وتقديرها للحصول على إشارة رقمية.