تقنيات العد: التقنيات الرئيسية والتطبيقات والأمثلة

تقنيات العد هي سلسلة من طرق الاحتمال لحساب العدد المحتمل للترتيبات ضمن مجموعة أو عدة مجموعات من الكائنات. يتم استخدامها عند إجراء الحسابات يدويًا بسبب تعقيد عدد الكائنات و / أو المتغيرات.

على سبيل المثال ، حل هذه المشكلة بسيط للغاية: تخيل أن رئيسك يطلب منك حساب آخر المنتجات التي وصلت في الساعة الأخيرة. في هذه الحالة ، يمكنك الذهاب وحساب المنتجات واحدة تلو الأخرى.

ومع ذلك ، تخيل أن المشكلة تكمن في ذلك: يسألك رئيسك في العمل عن حساب عدد المجموعات المكونة من 5 منتجات من نفس النوع والتي يمكن تشكيلها مع أولئك الذين وصلوا في الساعة الأخيرة. في هذه الحالة ، يصبح الحساب معقدًا. تستخدم تقنيات العد المزعومة لهذا النوع من الحالات.

هذه التقنيات متعددة ، ولكن الأهم تنقسم إلى مبدأين أساسيين ، هما المضاعف والمضاف ؛ التباديل والتركيبات.

مبدأ التكاثر

تطبيقات

مبدأ المضاعف ، جنبا إلى جنب مع المضافة ، أمر أساسي لفهم عملية تقنيات العد. في حالة المضاعف ، يتكون مما يلي:

تخيل نشاطًا يتضمن عددًا معينًا من الخطوات (تم وضع علامة على الإجمالي كـ "r") ، حيث يمكن إجراء الخطوة الأولى من النماذج N1 والخطوة الثانية من N2 والخطوة "r" من نماذج Nr. في هذه الحالة ، يمكن تنفيذ النشاط من عدد النماذج الناتجة عن هذه العملية: N1 x N2 x .......... x Nr forms

هذا هو السبب في أن هذا المبدأ يسمى التعددية ، ويعني أنه يجب تنفيذ كل خطوة من الخطوات اللازمة لتنفيذ النشاط واحدة تلو الأخرى.

مثال

دعنا نتخيل الشخص الذي يريد بناء مدرسة. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك أنه يمكن بناء قاعدة المبنى بطريقتين مختلفتين ، الاسمنت أو الخرسانة. أما الجدران ، فيمكن أن تصنع من الطوب اللبن أو الأسمنت أو الطوب.

بالنسبة للسقف ، يمكن تصنيعه من الأسمنت أو الصفيحة المجلفنة. أخيرًا ، لا يمكن إجراء اللوحة النهائية إلا بطريقة واحدة. والسؤال الذي يطرح نفسه هو: ما عدد الطرق التي يجب على المدرسة بناءها؟

أولاً ، نأخذ بعين الاعتبار عدد الخطوات التي ستكون القاعدة والجدران والسقف واللوحة. في المجموع ، 4 خطوات ، لذلك ص = 4.

فيما يلي قائمة N:

N1 = طرق بناء الأساس = 2

N2 = طرق بناء الجدران = 3

N3 = طرق صنع السقف = 2

N4 = طرق صنع الطلاء = 1

لذلك ، سيتم حساب عدد النماذج المحتملة بواسطة الصيغة الموضحة أعلاه:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 × 3 × 2 × 1 = 12 طرق للقيام بالمدرسة.

مبدأ المضافة

تطبيقات

هذا المبدأ بسيط للغاية ، ويتألف في حقيقة أنه في حالة وجود عدة بدائل لتنفيذ نفس النشاط ، فإن الأشكال الممكنة تتكون من مجموع الطرق المختلفة الممكنة لتحقيق جميع البدائل.

بمعنى آخر ، إذا أردنا تنفيذ نشاط مع ثلاثة بدائل ، حيث يمكن إجراء البديل الأول في نماذج M ، والثاني في نماذج N والآخر في نماذج W ، يمكن إجراء النشاط من: M + N + ......... + أشكال W.

مثال

تخيل هذه المرة الشخص الذي يريد شراء مضرب تنس. لهذا ، لديها ثلاث علامات تجارية للاختيار من بينها: ويلسون ، بابولات أو هيد.

عندما يذهب إلى المتجر ، يرى أنه يمكن شراء مضرب Wilson بمقبض من مقاسين مختلفين ، L2 أو L3 في أربعة طرز مختلفة ، ويمكن مداسه أو بدون أوتار.

مضرب Babolat ، من ناحية أخرى ، يحتوي على ثلاثة مقابض (L1 و L2 و L3) ، وهناك طرازان مختلفان ويمكن أيضًا متانتهما أو بدون أوتار.

من ناحية أخرى ، فإن مضرب الرأس هي فقط بمقبض واحد ، L2 ، في نموذجين مختلفين وبدون ربط أوتار. السؤال هو: ما عدد الطرق التي يجب على هذا الشخص من خلالها شراء مضربه؟

M = عدد الطرق لتحديد مضرب ويلسون

N = عدد طرق اختيار مضرب Babolat

W = عدد الطرق لتحديد مضرب الرأس

نصنع مبدأ المضاعف:

م = 2 × 4 × 2 = 16 أشكال

N = 3 × 2 × 2 = 12 أشكال

W = 1 × 2 × 1 = 2 النماذج

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 طرق لاختيار مضرب.

لمعرفة متى يجب استخدام مبدأ التعدد والإضافة ، عليك فقط أن تنظر فيما إذا كان للنشاط سلسلة من الخطوات التي يتعين تنفيذها ، وإذا كان هناك العديد من البدائل ، المضافة.

التباديل

تطبيقات

لفهم ماهية التقليب ، من المهم شرح ماهية التوليفة من أجل التمييز بينها ومعرفة وقت استخدامها.

سيكون المزيج عبارة عن ترتيب للعناصر التي لسنا مهتمين بها في الموقف الذي يشغله كل واحد منهم.

التباين ، من ناحية أخرى ، سيكون ترتيب العناصر التي نحن مهتمون بها في الموقف الذي يشغله كل واحد منهم.

دعنا نعطي مثالًا لفهم الفرق بشكل أفضل.

مثال

تخيل فصلًا يضم 35 طالبًا ، وفي المواقف التالية:

1. يريد المعلم من ثلاثة من طلابه مساعدته في الحفاظ على نظافة الفصل أو تسليم المواد للطلاب الآخرين عندما يحتاجها.
2. يريد المعلم تعيين مندوبي الفصل (رئيس ومساعد وممول).

الحل هو ما يلي:

1. تخيل أنه من خلال التصويت يتم اختيار خوان وماريا ولوسيا لتنظيف الفصل أو تسليم المواد. من الواضح أن مجموعات أخرى من ثلاثة أشخاص قد تكونت من بين 35 طالبًا محتملاً.

يجب أن نسأل أنفسنا ما يلي: هل من المهم الترتيب أو المنصب الذي يشغله كل طالب من الطلاب وقت اختيارهم؟

إذا فكرنا في الأمر ، فإننا نرى أنه ليس من المهم حقًا ، لأن المجموعة ستهتم بالمهمتين على قدم المساواة. في هذه الحالة ، هو مزيج ، لأننا لسنا مهتمين بموقف العناصر.

2. الآن تخيل أن جون قد تم اختياره كرئيس ، وماريا كمساعد ولوسيا كمالية.

في هذه الحالة ، هل يهم الأمر؟ الجواب نعم ، لأنه إذا قمنا بتغيير العناصر ، فإن النتيجة تتغير. أي أنه بدلاً من تعيين خوان كرئيس ، وضعناه كمساعد ، وماريا كرئيس ، فإن النتيجة النهائية ستتغير. في هذه الحالة هو التقليب.

بمجرد فهم الفرق ، سوف نحصل على صيغ التباديل والتركيبات. ومع ذلك ، يجب أولاً تحديد المصطلح "n!" (Factorial) ، حيث سيتم استخدامه في الصيغ المختلفة.

ن! = المنتج من 1 إلى ن.

ن! = 1 × 2 × 3 × 4 × ...........x ن

استخدامه مع أرقام حقيقية:

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × ......... × 10 = 3628800

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × ......... × 5 = 120

تكون صيغة التباديل كما يلي:

nPr = n! / (nr)!

مع ذلك يمكننا معرفة الترتيبات التي يكون فيها الترتيب مهمًا ، وحيث تختلف العناصر n.

تركيبات

تطبيقات

كما علقنا من قبل ، فإن المجموعات هي الترتيبات التي لا نهتم فيها بمركز العناصر.

صيغتها هي التالية:

nCr = n! / (nr)! r!

مثال

إذا كان هناك 14 طالبًا يرغبون في التطوع لتنظيف الفصل ، فكم عدد مجموعات التنظيف التي يمكن أن تتكون كل مجموعة من 5 أشخاص؟

الحل ، لذلك ، سيكون على النحو التالي:

ن = 14 ، ص = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9! / 9! 5! = 2002 مجموعات