نظرية بايز: شرح ، تطبيقات ، تمارين
The Bayes Theorem هو إجراء يسمح لنا بالتعبير عن الاحتمال المشروط لحدث عشوائي A معين B ، من حيث توزيع الاحتمال للحدث B المعطى A وتوزيع الاحتمال لـ A. فقط
هذه النظرية مفيدة للغاية ، نظرًا لأنه بفضلها يمكننا أن نربط احتمال وقوع حدث A مع العلم أن B قد حدث ، مع احتمال حدوث العكس ، أي أن B تحدث في ضوء A.
كانت نظرية بايز اقتراحًا فضيًا من قبل القس توماس بايز ، عالم لاهوت إنجليزي في القرن الثامن عشر وكان أيضًا عالم رياضيات. كان مؤلف العديد من الأعمال في علم اللاهوت ، ولكنه معروف حاليًا ببعض المقالات الرياضية ، والتي تبرز منها نظرية بايز المذكورة سابقًا باعتبارها النتيجة الرئيسية.
تناول بايز هذه النظرية في مقال بعنوان "مقال نحو حل مشكلة في مذهب الفرص" ، الذي نشر في عام 1763 ، والذي تم تطوير الأعمال الكبيرة لحل مشكلة في عقيدة الاحتمالات. دراسات مع التطبيقات في مجالات مختلفة من المعرفة.
تفسير
أولاً ، لمزيد من الفهم لهذه النظرية ، بعض المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات ضرورية ، خاصة نظرية الضرب لاحتمال الشرطية ، والتي تنص على أن
بالنسبة إلى أحداث E و A العشوائية لمساحة عينة S.
وتعريف الأقسام ، الذي يخبرنا أنه إذا كان لدينا أحداث A 1 ، A 2 ، ... ، A n لعينة مساحة S ، فستكون هذه جزءًا من S ، إذا كانت A i حصرية بشكل متبادل واتحادها هو S.
بعد هذا ، دع B يكون حدثًا آخر. ثم يمكننا أن نرى B كما
حيث تتقاطع A i مع B أحداثًا متبادلة.
وبالتالي ،
ثم ، تطبيق نظرية الضرب
من ناحية أخرى ، يتم تحديد الاحتمال الشرطي لـ Ai المعطى B بواسطة
استبدال بشكل كاف لدينا لأية ط
تطبيقات نظرية بايز
بفضل هذه النتيجة ، تمكنت مجموعات البحث والشركات المتنوعة من تحسين النظم القائمة على المعرفة.
على سبيل المثال ، في دراسة الأمراض ، يمكن لنظرية بايز أن تساعد في اكتشاف احتمال وجود مرض في مجموعة من الأشخاص ذوي خصائص معينة ، مع الأخذ في الاعتبار المعدلات العالمية للمرض وهيمنة الخصائص المذكورة في الناس على حد سواء الأصحاء والمرضى.
من ناحية أخرى ، في عالم التقنيات المتقدمة ، أثرت على الشركات الكبيرة التي طورت ، بفضل هذه النتيجة ، برنامج "قائم على المعرفة".
كمثال يومي ، لدينا مساعد Microsoft Office. تساعد نظرية Bayes البرنامج على تقييم المشكلات التي يعرضها المستخدم وتحديد النصيحة التي يمكن تقديمها وبالتالي يكون قادرًا على تقديم خدمة أفضل وفقًا لعادات المستخدم.
تجدر الإشارة إلى أن هذه الصيغة قد تم تجاهلها حتى وقت قريب ، وهذا يرجع بشكل رئيسي إلى حقيقة أنه عندما تم تطوير هذه النتيجة قبل 200 عام ، كان هناك القليل من الاستخدام العملي لها. ومع ذلك ، في عصرنا ، بفضل التقدم التكنولوجي الكبير ، حقق العلماء طرقًا لوضع هذه النتيجة موضع التنفيذ.
تمارين تم حلها
التمرين 1
تمتلك الشركة الخلوية جهازين A و B. 54 ٪ من الهواتف المحمولة المنتجة بواسطة الجهاز A والباقي بواسطة الجهاز B. ليست جميع الهواتف المحمولة المنتجة في حالة جيدة.
نسبة الهواتف المحمولة المعيبة التي صنعتها A هي 0.2 وبنسبة 0.5. ما هو احتمال أن يكون الهاتف الخلوي للمصنع المذكور معيبًا؟ ما هو احتمال أن ، مع العلم أن الهاتف الخلوي معيب ، يأتي من الجهاز A؟
حل
هنا ، لديك تجربة تتم في جزأين ؛ في الجزء الأول تحدث الأحداث:
ج: الهاتف الخليوي الذي أدلى به الجهاز أ.
ب: الهاتف الخليوي الذي أدلى به الجهاز B.
نظرًا لأن الماكينة A تنتج 54٪ من الهواتف المحمولة والباقي ينتجها الجهاز B ، فإن الماكينة B تنتج 46٪ من الهواتف المحمولة. يتم إعطاء احتمالات هذه الأحداث ، وهي:
P (A) = 0.54.
P (B) = 0.46.
أحداث الجزء الثاني من التجربة هي:
D: الهاتف الخلوي المعيب
E: الهاتف الخليوي غير معيبة.
كما قيل في البيان ، فإن احتمالات هذه الأحداث تعتمد على النتيجة التي تم الحصول عليها في الجزء الأول:
P (D | A) = 0.2.
P (D | B) = 0.5.
باستخدام هذه القيم ، يمكنك أيضًا تحديد احتمالات مكملات هذه الأحداث ، وهي:
P (E | A) = 1 - P (D | A)
= 1 - 0.2
= 0.8
و
p (E | B) = 1 - P (D | B)
= 1 - 0.5
= 0.5.
الآن ، يمكن كتابة الحدث D على النحو التالي:
باستخدام نظرية الضرب لاحتمال شرطي ، فإنه ينتج:
مع الإجابة على السؤال الأول.
الآن نحتاج فقط إلى حساب P (A | D) ، والتي تنطبق عليها نظرية بايز:
بفضل نظرية بايز ، يمكن القول أن احتمال تصنيع هاتف خلوي بواسطة الجهاز A ، مع العلم أن الهاتف الخلوي معيب ، هو 0.319.
التمرين 2
ثلاثة صناديق تحتوي على كرات بيضاء وسوداء. تكوين كل منهم على النحو التالي: U1 = {3B ، 1N} ، U2 = {2B ، 2N} ، U3 = {1B ، 3N}.
يتم اختيار أحد الصناديق عشوائياً ويتم استخراج كرة عشوائية منه ، والتي تتحول إلى أن تكون بيضاء. ما هو المربع الذي تم اختياره على الأرجح؟
حل
عن طريق U1 و U2 و U3 ، سنعمل أيضًا على تمثيل الصندوق المختار.
تشكل هذه الأحداث قسمًا من S ويتم التحقق من أن P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 لأن اختيار المربع عشوائي.
إذا كانت B = {الكرة المستخرجة بيضاء} ، فسنحصل على P (B | U1) = 3/4 ، P (B | U2) = 2/4 ، P (B | U3) = 1/4.
ما نريد الحصول عليه هو احتمال إخراج الكرة من المربع Ui مع العلم أن الكرة كانت بيضاء ، أي P (Ui | B) ، ومعرفة أي من القيم الثلاث كان الأعلى لمعرفة أي منها كان مربع على الأرجح استخراج الكرة البيضاء.
تطبيق نظرية بايز على أول المربعات:
وللآخرين:
P (U2 | B) = 2/6 و P (U3 | B) = 1/6.
ثم ، أول الصناديق هو الذي لديه احتمال أكبر في أن يتم اختياره لاستخراج كرة الإشارات.
