التحلل المضاف: تطبيقات ، أقسام ، رسومات
التحلل المضاف لـ عدد صحيح موجب هو التعبير عنه كمجموع عدد صحيح أو أكثر. وبالتالي ، لدينا أنه يمكن التعبير عن الرقم 5 كـ 5 = 1 + 4 ، 5 = 2 + 3 أو 5 = 1 + 2 + 2. كل طريقة من طرق كتابة الرقم 5 هي ما نسميه التحلل المضاف.
إذا لاحظنا ، يمكننا أن نرى أن التعبيرات 5 = 2 + 3 و 5 = 3 + 2 تمثل نفس التركيبة ؛ كلاهما لديه نفس الأرقام. ومع ذلك ، فقط من أجل الراحة ، يتم عادةً كتابة كل من الإضافات باتباع المعيار من الأقل إلى الأكبر.
التحلل المضاف
كمثال آخر ، يمكننا أخذ الرقم 27 ، والذي يمكننا التعبير عنه على النحو التالي:
27 = 7 + 10 + 10
27 = 9 + 9 + 9
27 = 3 + 6 + 9 + 9
27 = 9 + 18
يعد التحلل المضاف أداة مفيدة للغاية تتيح لنا تعزيز معرفتنا بأنظمة الترقيم.
التحلل الكنسي المضافة
عندما يكون لدينا أعداد تزيد عن رقمين ، فإن الطريقة المعينة لتحليلها هي مضاعفات 10 ، 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ ، التي تتكون منها. وتسمى هذه الطريقة في كتابة أي رقم التحلل المضاف الكنسي. على سبيل المثال ، يمكن تقسيم الرقم 1456 كما يلي:
1456 = 1000 + 400+ 50 + 6
إذا كان لدينا الرقم 20 846 295 ، فإن تحلل المواد المضافة الكنسي هو:
20 846 295 = 20،000،000 + 800،000 + 40،000 + 6،000 + 200 + 90 +5.
بفضل هذا التحلل ، يمكننا أن نرى أن قيمة الخانة المعطاة تُعطى بالموضع الذي تشغله. خذ الأرقام 24 و 42 كمثال:
24 = 20 + 4
42 = 40 +2
هنا يمكننا أن نلاحظ أن 24 في 2 لديه قيمة 20 وحدة و 4 قيمة 4 وحدات. من ناحية أخرى ، في 42 لديه 4 قيمة 40 وحدة واثنين من وحدتين. وبالتالي ، على الرغم من أن كلا الرقمين يستخدمان نفس الأرقام ، إلا أن قيمهما تختلف تمامًا عن الموضع الذي يشغلهن.
تطبيقات
أحد التطبيقات التي يمكن أن نقدمها للتحلل المضاف هو نوع معين من المظاهرات ، حيث من المفيد للغاية رؤية عدد صحيح موجب كمجموع للتطبيقات الأخرى.
مثال نظرية
دعونا نأخذ على سبيل المثال النظرية التالية مع مظاهرات كل منها.
- اجعل Z عددًا صحيحًا مكونًا من 4 أرقام ، ثم Z قابلة للقسمة على 5 إذا كان عددها المطابق للوحدات هو الصفر أو خمسة.
عرض
تذكر ما هو القسمة. إذا كان لدينا عدد صحيح "a" و "b" ، فإننا نقول أن "a" يقسم "b" إذا كان هناك عدد صحيح "c" بحيث b = a * c.
تخبرنا إحدى خصائص القسمة أنه إذا كانت "a" و "b" قابلة للقسمة على "c" ، فإن الطرح "ab" قابل للقسمة أيضاً على "c".
اجعل Z عددًا صحيحًا مكونًا من 4 أرقام ؛ لذلك ، يمكننا كتابة Z كـ Z = ABCD.
باستخدام التحلل المضاف الكنسي لدينا ما يلي:
Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D
من الواضح أن A * 1000 + B * 100 + C * 10 قابلة للقسمة على 5. لهذا لدينا Z قابلة للقسمة على 5 إذا Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) قابلة للقسمة على 5.
لكن Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D و D هي رقم من رقم واحد ، وبالتالي فإن الطريقة الوحيدة التي يمكن القسمة عليها ب 5 هي 0 أو 5.
لذلك ، يمكن قسمة Z على 5 إذا كانت D = 0 أو D = 5.
لاحظ أنه إذا كانت Z تحتوي على n ، فإن الإثبات هو نفسه تمامًا ، فإنه فقط يتغير بحيث نكتب الآن Z = A 1 A 2 ... A والهدف هو إثبات أن A n هي صفر أو خمسة.
الأقسام
نقول أن تقسيم عدد صحيح موجب هو طريقة يمكننا من خلالها كتابة رقم كمجموع عدد صحيح موجب.
الفرق بين التحلل المضاف والقسم هو أنه ، في حين يتم السعي في البداية إلى أنه يمكن تحليله على الأقل في إضافات أو أكثر ، في القسم لا يوجد مثل هذا التقييد.
لذلك ، لدينا ما يلي:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 2 + 2
ما ورد أعلاه أقسام من 5.
بمعنى ، لدينا جميع التحاليل المضافة عبارة عن قسم ، ولكن ليس كل قسم بالضرورة تحللًا إضافيًا.
في نظرية الأعداد ، تضمن النظرية الأساسية للحساب أنه يمكن كتابة كل عدد بشكل فريد كمنتج من الأعداد الأولية.
عند دراسة الأقسام ، الهدف هو تحديد عدد الطرق التي يمكنك بها كتابة عدد صحيح موجب كمجموع للأعداد الصحيحة الأخرى. لذلك ، نقوم بتعريف وظيفة القسم كما هو موضح أدناه.
تعريف
يتم تعريف وظيفة القسم p (n) على أنها عدد الطرق التي يمكن بها كتابة عدد صحيح موجب n كمجموع عدد صحيح موجب.
بالعودة إلى مثال 5 ، يتعين علينا:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 1 + 3
5 = 1 + 2 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
بهذه الطريقة ، ص (5) = 7.
بياني
يمكن تمثيل كل من الأقسام والتحلل المضاف لعدد n هندسيًا. لنفترض أن لدينا تحلل المضافة من ن. في هذا التحلل ، يمكن ترتيب الإضافات بحيث يتم ترتيب أعضاء المجموع من الأدنى إلى الأعلى. ثم ، يستحق:
n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a r with
a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ... ≤ a r .
يمكننا رسم مثل هذا التحلل بالطريقة التالية: في الصف الأول ، نحتفل بالنقاط 1- ، ثم نحتفل بالنقطة التالية - بنقطتين ، وهكذا حتى نصل إلى aa r .
خذ الرقم 23 والتحلل التالي كمثال:
23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3
نحن نطلب هذا التحلل ولدينا:
23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7
سيكون الرسم البياني المقابل هو:
وبالمثل ، إذا قرأنا الرسم البياني المذكور رأسيًا بدلاً من أفقيًا ، فيمكننا الحصول على تحلل قد يختلف عن سابقه. في المثال 23 يبرز ما يلي:
لذلك يتعين علينا حتى سن 23 سنكتبها أيضًا على النحو التالي:
23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.
