العوملة: الطرق والأمثلة

العوملة هي الطريقة التي يتم من خلالها التعبير عن كثير الحدود في شكل مضاعفة العوامل ، والتي يمكن أن تكون أرقامًا أو حروفًا أو كليهما. لتحديد العوامل المشتركة بين المصطلحات ، يتم تجميعها ، وبهذه الطريقة يتم تحليل كثير الحدود في العديد من الحدود.

وهكذا ، عندما تتضاعف العوامل بعضها البعض تكون النتيجة هي متعدد الحدود الأصلي. العوملة هي طريقة مفيدة للغاية عندما يكون لديك تعبيرات جبرية ، لأنه يمكن تحويلها إلى ضرب عدة مصطلحات بسيطة ؛ على سبيل المثال: 2a2 + 2ab = 2a _* (a + b).

هناك حالات لا يمكن فيها أخذ كثير الحدود في الحسبان لأنه لا يوجد عامل مشترك بين المصطلحات ؛ وبالتالي ، فإن هذه التعبيرات الجبرية قابلة للقسمة فقط بينها وبين 1. على سبيل المثال: x + y + z.

في تعبير جبري ، العامل المشترك هو أكبر مقسوم مشترك للمصطلحات التي يتكون منها.

أساليب العوملة

هناك العديد من أساليب العوملة ، والتي يتم تطبيقها حسب الحالة. بعض هذه ما يلي:

العوملة بعامل مشترك

في هذه الطريقة ، يتم تحديد تلك العوامل الشائعة ؛ وهذا هو ، تلك التي تتكرر في شروط التعبير. ثم يتم تطبيق خاصية التوزيع ، ويتم إزالة الحد الأقصى للقسمة المشتركة وإكمال التجهيز.

بمعنى آخر ، يتم تحديد عامل التعبير المشترك ويتم تقسيم كل مصطلح بينه ؛ سيتم ضرب المصطلحات الناتجة بواسطة أكبر عامل مشترك للتعبير عن العوامل.

مثال 1

العامل (b2x) + (b2y).

حل

أولاً نجد العامل المشترك لكل مصطلح ، والذي في هذه الحالة هو b2 ، ثم نقسم المصطلحات بين العامل المشترك على النحو التالي:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = ذ.

يتم التعبير عن العامل ، بضرب العامل المشترك بالمصطلحات الناتجة:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

مثال 2

العامل (2a2b3) + (3ab2).

حل

في هذه الحالة ، لدينا عاملان يتكرران في كل مصطلح "أ" و "ب" ، ويتم رفعهما إلى قوة. وللتعامل معها ، أولاً يتم تقسيم المصطلحين إلى شكلهما الطويل:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

يمكن ملاحظة أن العامل "a" يتكرر مرة واحدة فقط في الفصل الثاني ، ويتكرر العامل "b" مرتين فيه ؛ لذلك في الفصل الأول يوجد 2 فقط ، عامل "a" و "b" ؛ بينما في الفترة الثانية يبقى 3 فقط.

لذلك ، نكتب الأوقات التي يتم فيها تكرار "أ" و "ب" وضربها بالعوامل المتبقية من كل مصطلح ، كما هو موضح في الصورة:

العوملة بالتجميع

بما أنه ليس في جميع الحالات يتم التعبير عن الحد الأقصى المقسوم على كثير الحدود بوضوح ، فمن الضروري اتخاذ خطوات أخرى لتكون قادرًا على إعادة كتابة كثير الحدود وبالتالي العامل.

إحدى هذه الخطوات هي تجميع شروط كثير الحدود في عدة مجموعات ، ثم استخدام طريقة العامل المشترك.

مثال 1

عامل ac + bc + ad + bd.

حل

هناك 4 عوامل يشترك فيها اثنان: في الفصل الأول يكون "c" والثاني هو "d". بهذه الطريقة يتم تجميع المصطلحين وفصلهما:

(ac + bc) + (ad + bd).

من الممكن الآن تطبيق طريقة العامل المشترك ، بتقسيم كل مصطلح على العامل المشترك ، ثم ضرب هذا العامل المشترك بالشروط الناتجة ، مثل هذا:

(ac + bc) / c = a + b

(الإعلان + دينار بحريني) / د = أ + ب

ج (أ + ب) + د (أ + ب).

الآن يمكنك الحصول على ذات الحدين الشائع لكلا المصطلحين. لعامل فإنه مضروب في العوامل المتبقية ؛ بهذه الطريقة عليك:

ac + bc + ad + bd = (ج + د) _* (أ + ب).

العوملة عن طريق التفتيش

تستخدم هذه الطريقة لعوامل متعدّدة الحدود التربيعية ، وتسمى أيضًا ثلاثية الحدود. بمعنى ، تلك المهيكلة كـ ax2 ± bx + c ، حيث تكون قيمة "a" مختلفة عن 1. تُستخدم هذه الطريقة أيضًا عندما يكون ثلاثي الحدود في الشكل x2 ± bx + c وقيمة "a" = 1 .

مثال 1

العامل x2 + 5x + 6.

حل

لدينا ثلاثية من الدرجة الثانية للشكل x2 ± bx + c. للتعامل مع ذلك أولاً ، يجب أن تجد رقمين ، عند ضربهما ، تعطي القيمة "c" (أي ، 6) وأن مجموعها يساوي معامل «b» ، وهو 5. هذه الأرقام هي 2 و 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

بهذه الطريقة ، يتم تبسيط التعبير مثل هذا:

(× 2 + 2 ×) + (3 × + 6)

كل مصطلح في الحسبان:

- بالنسبة لـ (x2 + 2x) ، يتم استخراج المصطلح الشائع: x (x + 2)

- لـ (3x + 6) = 3 (x + 2)

وهكذا ، يبقى التعبير:

x (x +2) + 3 (x +2).

نظرًا لأن لديك حدين مشترك ، لتقليل التعبير اضرب هذا بمصطلحات الفائض وعليك:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

مثال 2

العامل 4a2 + 12a + 9 = 0.

حل

لدينا ثلاثية من الدرجة الثانية من الشكل ax2 ± bx + c وللتعامل مع ذلك نضاعف كل التعبير بمعامل x2 ؛ في هذه الحالة ، 4.

4a2 + 12a +9 = 0

4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a2 + 12a (4) + 36 = 0

42 a2 + 12a (4) + 36 = 0

الآن يجب أن نجد رقمين ، عندما يتكاثران ، يعطيان نتيجة لذلك قيمة "c" (أي 36) ، وعند إضافتهما ينتج عنه معامل المصطلح "a" ، وهو 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

وبهذه الطريقة ، تتم إعادة كتابة التعبير ، مع مراعاة أن 42 a2 = 4a _* 4a. لذلك ، يتم تطبيق خاصية التوزيع لكل مصطلح:

(4a + 6) _* (4a + 6).

أخيرًا ، يتم تقسيم التعبير على معامل a2 ؛ هذا هو 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

التعبير كالتالي:

4a2 + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

العوملة مع المنتجات الرائعة

هناك حالات ، لكي يتم التعامل مع الحدود متعددة الحدود بشكل كامل مع الطرق السابقة ، تصبح عملية طويلة جدًا.

هذا هو السبب في أنه يمكن تطوير تعبير باستخدام صيغ المنتجات الرائعة وبالتالي تصبح العملية أكثر بساطة. من بين المنتجات الأكثر استخدامًا هي:

- الفرق بين مربعين: (a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

- مربع مثالي للمجموع: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

- مربع مثالي للفرق: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

- الفرق بين مكعبين: a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

- مجموع مكعبين: a3 - b3 = (a + b) _* (a2 - ab + b2)

مثال 1

عامل (52 - × 2)

حل

في هذه الحالة هناك اختلاف بين مربعين. لذلك ، يتم تطبيق صيغة المنتج الرائع:

(a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

(52 - × 2) = (5 - س) _* (5 + س)

مثال 2

العامل 16x2 + 40x + 252

حل

في هذه الحالة ، لدينا مربع مثالي للمجموع ، لأنه يمكننا تحديد مصطلحين تربيعيين ، والمصطلح المتبقي هو نتيجة ضرب اثنين بالجذر التربيعي للكلمة الأولى ، بواسطة الجذر التربيعي للكلمة الثانية.

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

إلى عامل ، يتم حساب الجذور المربعة للفترتين الأولى والثالثة فقط:

√ (16x2) = 4x

√ (252) = 5.

بعد ذلك ، يتم فصل المصطلحين الناتجين عن طريق علامة العملية ، ويتعدد الحدود الكاملة مربعة:

16 × 2 + 40 × + 252 = (4x + 5) 2.

مثال 3

العامل 27a3 - b3

حل

يمثل التعبير طرحًا يتم فيه رفع عاملين إلى المكعب. من أجل معاملتها ، يتم تطبيق صيغة المنتج البارز للفرق المكعب ، وهي:

a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

وبالتالي ، لتكوين عامل ، يتم استخراج الجذر التكعيبي لكل مصطلح من الحدين ومضاعفة في مربع الفصل الأول ، بالإضافة إلى المنتج الأول في الفصل الثاني ، بالإضافة إلى الفصل الثاني بالمربع.

27a3 - b3

³√ (27a3) = 3a

³√ (-b3) = -b

27a3 - b3 = (3a - b) _* [(3a) 2 + 3ab + b2)]

27a3 - b3 = (3a - b) _* (9a2 + 3ab + b2)

العوملة مع حكم روفيني

يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون لديك كثير الحدود من الدرجة أكبر من اثنين ، من أجل تبسيط التعبير إلى العديد من الحدود متعددة الحدود بدرجة أقل.

مثال 1

العامل Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12

حل

أولاً ، ابحث عن الأرقام المقسومة على 12 ، وهو المصطلح المستقل ؛ هذه هي ± 1 و ± 2 و ± 3 و ± 4 و ± 6 و ± 12.

ثم يتم استبدال x بهذه القيم ، من الأدنى إلى الأعلى ، وبالتالي يتم تحديدها بأي من القيم سيكون التقسيم دقيقًا ؛ وهذا هو ، يجب أن يكون الباقي 0:

س = -1

Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.

س = 1

Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

س = 2

س (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.

وهكذا لكل مقسم. في هذه الحالة ، فإن العوامل الموجودة هي x = -1 و x = 2.

الآن يتم تطبيق طريقة Ruffini ، والتي سيتم بموجبها تقسيم معاملات التعبير بين العوامل التي وجدت للقسمة دقيقة. يتم ترتيب مصطلحات كثير الحدود من أعلى إلى أدنى الأس. في حالة فقدان مصطلح يحمل الدرجة التالية في التسلسل ، يتم وضع الصفر في مكانه.

توجد المعاملات في مخطط كما هو موضح في الصورة التالية.

يتم تخفيض المعامل الأول وضربه بالمقسوم عليه. في هذه الحالة ، يكون المقسوم الأول هو -1 ، ويتم وضع النتيجة في العمود التالي. ثم تضاف قيمة المعامل رأسياً مع النتيجة التي تم الحصول عليها وتوضع النتيجة أدناه. بهذه الطريقة ، يتم تكرار العملية حتى العمود الأخير.