ما هي الحدود المثلثية؟ (مع تمارين حل)

الحدود المثلثية هي حدود للوظائف بحيث يتم تشكيل هذه الوظائف من خلال الدوال المثلثية.

هناك تعريفان يجب معرفتهما لفهم كيفية إجراء حساب حد مثلثي.

هذه التعريفات هي:

- حد دالة "f" عندما تميل "x" إلى "b": تتكون في حساب القيمة التي تقترب منها f (x) مع اقتراب "x" من "b" ، دون الوصول إلى "b" ".

- الدوال المثلثية: الدوال المثلثية هي الدوال الجيبية وجيب التمام والدالة الموضحة بالرمز (x) و cos (x) و tan (x) على التوالي.

يتم الحصول على الدوال المثلثية الأخرى من الوظائف الثلاث المذكورة أعلاه.

حدود وظائف

لتوضيح مفهوم الحد من وظيفة سوف تستمر لإظهار بعض الأمثلة مع وظائف بسيطة.

- الحد من f (x) = 3 عندما تكون "x" تميل إلى "8" مساوية لـ "3" ، لأن الوظيفة ثابتة دائمًا. بغض النظر عن القيمة "x" ، فإن قيمة f (x) ستكون دائمًا "3".

- الحد f (x) = x-2 عندما يميل «x» إلى «6» هو «4». منذ متى «x» تقترب من «6» ، ثم «x-2» تقترب من «6-2 = 4».

- حد g (x) = x² عندما تميل "x" إلى "3" تساوي 9 ، حيث عندما يكون "x" يقترب من "3" ثم "x²" تقترب من "3² = 9» .

كما يتضح من الأمثلة السابقة ، يتكون حساب الحد من تقييم القيمة التي يميل إليها "x" في الوظيفة ، وستكون النتيجة هي قيمة الحد ، على الرغم من أن هذا صحيح فقط بالنسبة للوظائف المستمرة.

هل هناك حدود أكثر تعقيدًا؟

الجواب نعم. الأمثلة المذكورة أعلاه هي أبسط الأمثلة على الحدود. في دفاتر الحسابات ، تكون تمارين الحدود الرئيسية هي تلك التي تنشئ تعريفًا للنوع 0/0 و ∞ / ∞ و ∞-∞ و 0 * ∞ و (1) ^ ∞ و (0) ^ 0 و (∞) ^ 0.

تسمى هذه التعبيرات غير المحددة لأنها تعبيرات لا معنى لها رياضيا.

بالإضافة إلى ذلك ، بناءً على الوظائف التي ينطوي عليها الحد الأصلي ، قد تكون النتيجة التي تم الحصول عليها في حل التعاريف مختلفة في كل حالة.

أمثلة على حدود مثلثية بسيطة

لحل الحدود ، من المفيد دائمًا معرفة الرسوم البيانية للوظائف المعنية. فيما يلي الرسوم البيانية لوظائف الجيب وجيب التمام والظلال.

بعض الأمثلة على حدود مثلثية بسيطة هي:

- احسب حد الخطيئة (x) عندما تميل «x» إلى «0».

عندما ترى الرسم البياني ، يمكنك أن ترى أنه إذا كانت "x" تقترب من "0" (على اليسار وعلى اليمين) ، فإن رسم الجيب يقترب أيضًا من "0". لذلك ، فإن الحد من الخطيئة (س) عندما يميل «س» إلى «0» هو «0».

- احسب حد cos (x) عندما تميل «x» إلى «0».

عند ملاحظة الرسم البياني لجيب التمام ، يمكن ملاحظة أنه عندما تكون علامة "x" قريبة من "0" ، فإن الرسم البياني لجيب التمام يقترب من "1". هذا يعني أن الحد الأقصى لـ cos (x) عندما يميل «x» إلى «0» يساوي «1».

يمكن أن يوجد حد (يكون رقمًا) ، كما في الأمثلة السابقة ، ولكن قد يحدث أيضًا أنه غير موجود كما هو موضح في المثال التالي.

- حد tan (x) عندما يميل «x» إلى «Π / 2» على اليسار يساوي «+ ∞» ، كما يتضح في الرسم البياني. من ناحية أخرى ، فإن الحد من تان (س) عندما يميل "س" إلى "-Π / 2" على اليمين يساوي "-∞".

هويات الحدود المثلثية

اثنين من هويات مفيدة للغاية عند حساب الحدود المثلثية هي:

- حد «sin (x) / x» عندما تكون «x» تميل إلى «0» مساوية لـ «1».

- الحد من «(1-cos (x)) / x» عندما «x» يميل إلى «0» يساوي «0».

يتم استخدام هذه الهويات في كثير من الأحيان عندما يكون هناك نوع من عدم التحديد.

تمارين حلها

حل الحدود التالية باستخدام الهويات المذكورة أعلاه.

- احسب حد «f (x) = sin (3x) / x» عندما تميل «x» إلى «0».

إذا تم تقييم الدالة «f» في «0» ، فسيتم الحصول على تحديد النوع 0/0. لذلك ، يجب أن نحاول حل هذه اللا نهائية باستخدام الهويات الموصوفة.

الفرق الوحيد بين هذا الحد والهوية هو الرقم 3 الذي يظهر داخل دالة الجيب. لتطبيق الهوية ، يجب إعادة كتابة الوظيفة «f (x)» كما يلي «3 * (sin (3x) / 3x)». الآن ، كل من حجة الجيب والقاسم هي نفسها.

لذلك عندما تميل "x" إلى "0" ، تستخدم نتائج الهوية «3 * 1 = 3». لذلك ، فإن الحد f (x) عندما تميل «x» إلى «0» تساوي «3».

- احسب حد «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» عندما تميل «x» إلى «0».

عندما يتم استبدال "x = 0" في g (x) ، يتم الحصول على تحديد للنوع ∞-∞. لحلها ، يتم طرح الكسور ، والتي تسفر عن النتيجة «(1-cos (x)) / x».

الآن ، عند تطبيق الهوية المثلثية الثانية ، لدينا حد g (x) عندما تميل "x" إلى "0" إلى 0.

- احسب حد «h (x) = 4tan (5x) / 5x» عندما تميل «x» إلى «0».

مرة أخرى ، إذا تم تقييم h (x) في «0» ، فسيتم الحصول على تحديد للنوع 0/0.

تؤدي إعادة كتابة tan (5x) كـ sin (5x) / cos (5x) إلى h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

باستخدام الحد من 4 / cos (x) عندما تميل "x" إلى "0" إلى "4/1 = 4" والهوية المثلثية الأولى نحصل على حد h (x) عندما تميل "x" «0» تساوي «1 * 4 = 4».

ملاحظة

الحدود المثلثية ليست دائما سهلة الحل. في هذه المقالة تم عرض أمثلة أساسية فقط.