التفكير الجبري (مع تمارين حل)

يتكون التفكير الجبري بشكل أساسي من توصيل حجة رياضية من خلال لغة خاصة ، مما يجعلها أكثر صرامة وعامة ، مع الاستفادة من المتغيرات الجبرية والعمليات المحددة فيما بينها. من سمات الرياضيات هو الدقة المنطقية والميل التجريدي المستخدم في حججها.

لهذا من الضروري معرفة "القواعد" الصحيحة التي يجب استخدامها في هذه الكتابة. بالإضافة إلى ذلك ، يتجنب التفكير الجبري الغموض في تبرير الحجة الرياضية ، وهو أمر ضروري لإظهار أي نتيجة في الرياضيات.

المتغيرات الجبرية

المتغير الجبري هو مجرد متغير (حرف أو رمز) يمثل كائنًا رياضيًا معينًا.

على سبيل المثال ، تُستخدم الحروف x و y و z عادةً لتمثيل الأرقام التي تفي بمعادلة معينة ؛ الأحرف p ، qr ، لتمثيل الصيغ المقترحة (أو الحروف الكبيرة الخاصة بكل منها لتمثيل مقترحات محددة) ؛ والحروف A ، B ، X ، إلخ ، لتمثيل المجموعات.

يؤكد المصطلح "متغير" على أن الكائن المعني غير ثابت ، لكنه يختلف. هذه هي حالة المعادلة ، حيث يتم استخدام المتغيرات لتحديد الحلول التي من حيث المبدأ غير معروفة.

بشكل عام ، يمكن اعتبار المتغير الجبري حرفًا يمثل بعض الكائنات ، سواء كان ثابتًا أم لا.

مثلما يتم استخدام المتغيرات الجبرية لتمثيل الكائنات الرياضية ، يمكننا أيضًا مراعاة الرموز لتمثيل العمليات الرياضية.

على سبيل المثال ، يمثل الرمز "+" عملية "sum". ومن الأمثلة الأخرى الرموز الرمزية المختلفة للوصلة المنطقية في حالة المقترحات والمجموعات.

التعبيرات الجبرية

التعبير الجبري هو مزيج من المتغيرات الجبرية عن طريق عمليات محددة مسبقًا. ومن الأمثلة على ذلك العمليات الأساسية للجمع والطرح والضرب والقسمة بين الأرقام ، أو الاتصال المنطقي في المقترحات والمجموعات.

التفكير الجبري هو المسؤول عن التعبير عن الحجة المنطقية أو الرياضية عن طريق التعبير الجبري.

يساعد هذا الشكل من التعبير على تبسيط ومختصار الكتابة ، لأنه يستخدم الرموز الرمزية ويسمح لنا بفهم المنطق بشكل أفضل وتقديمه بطريقة أوضح وأكثر دقة.

أمثلة

دعونا نرى بعض الأمثلة التي توضح كيفية استخدام التفكير الجبري. بانتظام جدا يتم استخدامه لحل مشاكل المنطق والمنطق ، كما سنرى قريبا.

النظر في الاقتراح الرياضي المعروف "مجموع رقمين هو تبديل". دعونا نرى كيف يمكننا التعبير عن هذا الاقتراح جبريًا: عند إعطاء رقمين "أ" و "ب" ، ما يعنيه هذا الاقتراح هو أن أ + ب = ب + أ.

المنطق المستخدم في تفسير الاقتراح الأولي والتعبير عنه بمصطلحات جبرية هو سبب جبري.

يمكن أن نذكر أيضًا التعبير المشهور "ترتيب العوامل لا يغير المنتج" ، والذي يشير إلى حقيقة أن المنتج المكون من رقمين هو أيضًا تبديل ، ويتم التعبير عنه جبريًا باسم axb = bxa.

على نحو مماثل ، يمكن التعبير عن الخصائص الترابطية والتوزيعية للمبلغ والمنتج (وفي الواقع التعبير عنها) جبريًا ، حيث يتم تضمين الطرح والقسمة.

يغطي هذا النوع من التفكير لغة واسعة جدًا ويستخدم في سياقات متعددة ومختلفة. اعتمادًا على كل حالة ، في هذه السياقات ، يجب علينا أن نتعرف على الأنماط ، ونفسر العبارات ، ونعمّم التعبير الرسمي وتعبير عنه بشكل رسمي في المصطلحات الجبرية ، مما يوفر منطقًا صحيحًا ومتسلسلاً.

تمارين حلها

فيما يلي بعض المشكلات المنطقية التي سنحلها باستخدام التفكير الجبري:

التمرين الأول

ما هو الرقم الذي ، عن طريق إزالة النصف ، يساوي واحد؟

حل

لحل هذا النوع من التمارين ، من المفيد جدًا تمثيل القيمة التي نريد تحديدها عن طريق متغير. في هذه الحالة ، نريد أن نجد عددًا من خلال إزالة النصف ، يؤدي إلى الرقم واحد. الإشارة بواسطة x العدد المطلوب.

"لإزالة نصف" للرقم يعني تقسيمه على 2. لذلك يمكن التعبير عن ما سبق جبريًا كـ x / 2 = 1 ، ويتم تقليل المشكلة إلى حل معادلة ، والتي في هذه الحالة خطية وبسيطة جدًا في الحل. المقاصة x نحصل على أن الحل هو x = 2.

في الختام ، 2 هو الرقم الذي عند إزالة النصف يساوي 1.

التمرين الثاني

كم دقيقة مفقودة بحلول منتصف الليل إذا كانت 10 دقائق مفقودة 5/3 من ما هو مفقود الآن؟

حل

تشير بواسطة "z" إلى عدد الدقائق المتبقية بحلول منتصف الليل (يمكن استخدام أي حرف آخر). هذا يعني أن دقائق "z" فقط لمنتصف الليل مفقودة. هذا يعني أن 10 دقائق كانت مفقودة "z + 10" دقيقة منتصف الليل ، وهذا يتوافق مع 5/3 من ما هو مفقود الآن ؛ وهذا هو ، (5/3) ض.

بعد ذلك ، يتم تقليل المشكلة لحل المعادلة z + 10 = (5/3) z. بضرب طرفي المساواة ب 3 ، يتم الحصول على المعادلة 3z + 30 = 5z.

الآن ، من خلال تجميع المتغير "z" على جانب واحد من المساواة ، نحصل على 2z = 15 ، مما يعني أن z = 15.

لذلك ، تبقى 15 دقيقة حتى منتصف الليل.

التمرين الثالث

في القبيلة التي تمارس المقايضة ، هناك هذه المعادلات:

- يتم تبادل الرمح وقلادة للدرع.

- الرمح يعادل السكين وقلادة.

- يتم تبادل درعين لثلاث وحدات من السكاكين.

كم الياقات تعادل الرمح؟

حل

شون:

شارك = قلادة

L = رمح

E = درع

النحاس = سكين

ثم لدينا العلاقات التالية:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

لذلك يتم تقليل المشكلة إلى حل نظام المعادلات. على الرغم من وجود عدد أكبر من المجهول أكثر من المعادلات ، يمكن حل هذا النظام ، لأنهم لا يطلبون منا حلًا معينًا ولكن أحد المتغيرات اعتمادًا على حل آخر. ما يجب علينا فعله هو التعبير عن "المشاركة" في وظيفة "L" بشكل حصري.

من المعادلة الثانية لدينا أن Cu = L - Co. استبدال في المعادلة الثالثة نحصل على E = (3L - 3Co) / 2. أخيرًا ، باستبدال المعادلة الأولى وتبسيطها ، نحصل على 5Co = L ؛ أي أن الرمح يساوي خمسة أطواق.