الهندسة الإقليدية: التاريخ ، المفاهيم الأساسية والأمثلة
تقابل الهندسة الإقليدية دراسة خواص المساحات الهندسية حيث يتم إرضاء بديهيات إقليدس. في حين يستخدم هذا المصطلح في بعض الأحيان ليشمل الأشكال الهندسية ذات الأبعاد المتفوقة مع الخصائص المتشابهة ، فإنه عادة ما يكون مرادفًا للهندسة الكلاسيكية أو الهندسة المسطحة.
في القرن الثالث كتب سي. إقليدس وتلاميذه كتاب " العناصر" ، وهو عمل شمل المعرفة الرياضية بالوقت الممنوح بهيكل استنتاجي منطقي. منذ ذلك الحين ، أصبحت الهندسة علمًا ، في البداية لحل المشكلات الكلاسيكية وتطورت لتصبح علمًا تكوينيًا يساعد العقل.
تاريخ
للبدء بتاريخ الهندسة الإقليدية ، من الضروري أن نبدأ بالإقليدية بالإسكندرية والعناصر .
عندما كانت مصر بين يدي بطليموس الأول ، بعد وفاة الإسكندر الأكبر ، بدأ مشروعه في مدرسة بالإسكندرية.
كان من بين الحكماء الذين درسوا في المدرسة إقليدس. من المتوقع أن يكون تاريخ ميلاده حوالي 325 عامًا. جيم وموته من 265 أ. ج. يمكننا أن نعرف على وجه اليقين أنه ذهب إلى مدرسة أفلاطون.
لأكثر من ثلاثين عامًا ، درس إقليدس في الإسكندرية ، وقام ببناء عناصره الشهيرة: بدأ بكتابة وصف شامل للرياضيات في عصره. أنتجت تعاليم إقليدس تلاميذ ممتازين ، مثل أرخميدس وأبولونيوس في بيرغا.
كان إقليدس مسؤولاً عن هيكلة الاكتشافات المتباينة لليونانيين الكلاسيكيين في العناصر ، ولكن على عكس سابقيه ، فإنه لا يقتصر على تأكيد صحة النظرية ؛ إقليدس يقدم مظاهرة.
العناصر هي خلاصة لثلاثة عشر كتابا. بعد الكتاب المقدس ، هو أكثر الكتب المنشورة ، مع أكثر من ألف طبعة.
العناصر هي تحفة إقليدس في مجال الهندسة ، وتقدم معالجة نهائية للهندسة ذات البعدين (الطائرة) وثلاثة أبعاد (الفضاء) ، وهذا هو أصل ما نعرفه الآن باسم الهندسة الإقليدية .
المفاهيم الأساسية
يتم مطابقة العناصر من خلال التعاريف والمفاهيم الشائعة والمسلمات (أو البديهيات) متبوعة بالنظريات والإنشاءات والعروض التوضيحية.
- النقطة هي أنه لا يوجد لديه أجزاء.
- الخط عبارة عن طول ليس له عرض.
- الخط المستقيم هو الخط الذي يكمن بالتساوي فيما يتعلق بالنقاط الموجودة فيه.
- إذا تم قطع سطرين بحيث تكون الزاويتان المتجاورتان متساويتين ، تسمى الزوايا مستقيمة وتسمى الخطوط بالتعامودي.
- الخطوط المتوازية هي تلك التي ، في نفس الطائرة ، لا تقطع أبدًا.
بعد هذه التعريفات وغيرها ، يقدم إقليدس قائمة تضم خمسة افتراضات وخمسة مفاهيم.
مفاهيم مشتركة
- شيئان يساويان الثلث ، يساوي كل منهما الآخر.
- إذا تمت إضافة أشياء متساوية إلى نفس الأشياء ، فإن النتائج هي نفسها.
- إذا تم طرح أشياء متساوية أشياء متساوية ، فإن النتائج هي نفسها.
- الأشياء التي تتزامن مع بعضها البعض تساوي بعضها البعض.
- المجموع أكبر من جزء.
يفترض أو البديهيات
- للحصول على نقطتين مختلفتين يمر خط واحد فقط.
- الخطوط المستقيمة يمكن أن تمتد إلى أجل غير مسمى.
- يمكنك رسم دائرة مع أي مركز وأي دائرة نصف قطرها.
- جميع الزوايا الصحيحة هي نفسها.
- إذا كان الخط المستقيم يعبر خطين مستقيمين بحيث تضيف الزاويتان الداخليتان لنفس الجانب أقل من زاويتين صحيحتين ، فسيتقاطع الخطان المستقيمان على هذا الجانب.
يُعرف هذا الافتراض الأخير باسم افتراضات المتوازيات وتمت إعادة صياغته على النحو التالي: "بالنسبة للنقطة خارج الخط ، يمكننا رسم موازٍ واحد للسطر المحدد".
أمثلة
بعد ذلك ، ستعمل بعض نظريات العناصر على إظهار خصائص المساحات الهندسية حيث يتم استيفاء افتراضات إقليدس الخمسة ؛ بالإضافة إلى ذلك ، سيقومون بتوضيح المنطق المنطقي الاستنتاجي الذي يستخدمه عالم الرياضيات.
المثال الأول
الاقتراح 1.4. (LAL)
إذا كان هناك مثلثان لهما جانبان وزاوية بينهما متساوية ، عندها تكون الأطراف الأخرى والزوايا الأخرى متساوية.
عرض
اجعل ABC و A'B'C 'مثلثين مع AB = A'B' و AC = A'C 'وزاوية BAC و B'A'C. انتقل إلى المثلث A'B'C 'بحيث يتزامن A'B مع AB وتلك الزاوية B'A'C' تتزامن مع الزاوية BAC.
بعد ذلك ، يتزامن السطر A 'C مع السطر AC ، بحيث يتزامن C مع C ، ثم ، من خلال الافتراض 1 ، يجب أن يتزامن السطر BC مع الخط B'C'. لذلك يتزامن المثلثان ، وبالتالي فإن زاويتهما وجوانبهما متساوية.
المثال الثاني
الاقتراح 1.5. ( بونس أسينوروم )
إذا كان للمثلث وجهان متساويان ، تكون الزوايا المقابلة لهما متساوية.
عرض
افترض أن المثلث ABC له جوانب متساوية AB و AC.
ثم ، المثلثات ABD و ACD لها جانبان متساويان والزوايا بينهما متساوية. وهكذا ، بالاقتراح 1.4 ، تكون الزاويتان ABD و ACD متساوية.
المثال الثالث
الاقتراح 1.31
يمكنك بناء خط مواز لخط معطى بواسطة نقطة معينة.
إنشاءات
نظرًا لخط L ونقطة P ، يتم رسم خط مستقيم M يمر عبر P ويخترق إلى L. ثم يتم رسم خط مستقيم N بواسطة P الذي يقطع إلى L. الآن ، يتم تتبع خط N يقطع إلى M بواسطة P ، تشكيل زاوية تساوي تلك التي L تشكل مع M.
تأكيد
N موازي لـ L.
عرض
افترض أن L و N غير متوازيين ومتقاطعتين عند نقطة A. دع B يكون نقطة في L وراء A. خذ بعين الاعتبار السطر O الذي يمر عبر B و P. ثم ، تقوم O بقطع زوايا تشكيل M التي تضيف أقل من اثنان مستقيم.
بعد ذلك ، بحلول 1.5 ، يجب قطع السطر O إلى السطر L على الجانب الآخر من M ، بحيث يتقاطع L و O عند نقطتين ، مما يتناقض مع الافتراض 1. لذلك ، يجب أن يكون L و N متوازيين.
